Inverser hyperbolischer Sinus (asinh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des inversen hyperbolischen Sinus:

\[\text{asinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\] \[\text{für alle } x \in \mathbb{R}\]

Herleitung: Aus \(y = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) folgt \(x = \text{asinh}(y)\)

🔄 Beziehungen zu anderen Funktionen

Zusammenhänge mit verwandten Funktionen:

\[\sinh(\text{asinh}(x)) = x \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\] \[\text{asinh}(\sinh(x)) = x \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\] \[\text{asinh}(x) = -\text{asinh}(-x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\text{asinh}(x) = \text{acosh}(\sqrt{x^2+1}) \text{ für } x \geq 0\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{asinh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\] \[\int \text{asinh}(x) \, dx = x \cdot \text{asinh}(x) - \sqrt{x^2+1} + C\] \[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx = \text{asinh}(x) + C\]

Wichtig: Die Ableitung ist für alle \(x\) definiert und niemals null

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Berechnung verschiedener asinh-Werte
Berechnung:

\[\text{asinh}(0) = \ln(0 + \sqrt{0^2+1}) = \ln(1) = 0\] \[\text{asinh}(1) = \ln(1 + \sqrt{1+1}) = \ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0{,}881\] \[\text{asinh}(-1) = \ln(-1 + \sqrt{1+1}) = \ln(-1 + \sqrt{2}) \approx -0{,}881\]

Verifikation: \(\sinh(0{,}881) \approx 1\) ✓, ungerade Funktion ✓

📝 Beispiel 2: Integration mit asinh

Aufgabe: Berechnung von \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx\)
Lösung mit Substitution:

\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx\] \[\text{Substitution: } x = 2u \Rightarrow dx = 2du\] \[= \int \frac{2du}{\sqrt{4u^2+4}} = \int \frac{2du}{2\sqrt{u^2+1}} = \int \frac{du}{\sqrt{u^2+1}}\] \[= \text{asinh}(u) + C = \text{asinh}\left(\frac{x}{2}\right) + C\]

Allgemein: \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \text{asinh}\left(\frac{x}{a}\right) + C\)

📝 Beispiel 3: Numerische Anwendung

Aufgabe: Lösung der Gleichung \(\sinh(x) = 5\)
Analytische Lösung:

\[\sinh(x) = 5\] \[x = \text{asinh}(5) = \ln(5 + \sqrt{5^2+1})\] \[x = \ln(5 + \sqrt{26}) = \ln(5 + 5{,}099) \approx \ln(10{,}099) \approx 2{,}312\] \[\text{Probe: } \sinh(2{,}312) = \frac{e^{2{,}312} - e^{-2{,}312}}{2} \approx 5 \, \checkmark\]

Anwendung: Lösung hyperbolischer Gleichungen in der Physik

🔢 Komplexe Zahlen

Erweiterung auf komplexe Argumente:

\[\text{asinh}(z) = \ln\left(z + \sqrt{z^2 + 1}\right)\] \[\text{asinh}(ix) = i \cdot \arcsin(x) \text{ für reelle } x \text{ mit } |x| \leq 1\] \[\text{asinh}(-z) = -\text{asinh}(z) \text{ (ungerade auch für komplexe Zahlen)}\]

Beachte: Mehrdeutigkeit durch Quadratwurzel und Logarithmus

🔢 Taylor-Reihe von asinh(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\text{asinh}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\] \[= x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \frac{5x^7}{112} + \frac{35x^9}{1152} - \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = \infty\]

Beachte: Die Reihe konvergiert für alle \(x \in \mathbb{R}\), aber praktische Näherungen sind nur für \(|x| < 1\) sinnvoll