Kotangens (cot) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Kotangens:

\[\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\] \[\cot(-x) = -\cot(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\cot(x + \pi) = \cot(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)\]

🔄 Additionstheoreme

Zusammenhänge mit Winkelsummen und -differenzen:

\[\cot(a + b) = \frac{\cot(a)\cot(b) - 1}{\cot(a) + \cot(b)}\] \[\cot(a - b) = \frac{\cot(a)\cot(b) + 1}{\cot(b) - \cot(a)}\] \[\cot(2x) = \frac{\cot^2(x) - 1}{2\cot(x)}\] \[\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}\] \[\int \cot(x) \, dx = \ln|\sin(x)| + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\cot(x) = 2\cot(x)\csc^2(x)\] \[\int \cot(ax) \, dx = \frac{1}{a}\ln|\sin(ax)| + C\]

Beachte: Die Ableitung des Kotangens ist immer negativ

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Ankathete aus Gegenkathete und Winkel berechnen
Gegeben: Gegenkathete \(a = 5\), Winkel \(\alpha = 30°\)
Berechnung:

\[\cot(30°) = \frac{b}{a} = \frac{b}{5}\] \[b = 5 \cdot \cot(30°) = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1{,}732 = 8{,}66\] \[\text{Ankathete: } b \approx 8{,}66 \text{ Einheiten}\]

Verifikation: \(\cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}732\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Kotangenswerte merken
Berechnung:

\[\cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}732\] \[\cot(45°) = 1\] \[\cot(60°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\] \[\cot(90°) = 0\] \[\cot(120°) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0{,}577\] \[\cot(135°) = -1\]

Merkhilfe: \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\) - Kehrwert des Tangens

📝 Beispiel 3: Steigungsberechnung

Aufgabe: Horizontale Entfernung bei Steigung
Gegeben: Höhenunterschied \(h = 10\) m, Steigungswinkel \(\alpha = 15°\)
Berechnung:

\[\text{Horizontale Entfernung: } d = h \cdot \cot(\alpha)\] \[d = 10 \cdot \cot(15°) = 10 \cdot 3{,}732 = 37{,}32 \text{ m}\] \[\text{Steigung in Prozent: } s = \frac{h}{d} \cdot 100\% = \frac{10}{37{,}32} \cdot 100\% \approx 26{,}8\%\]

Anwendung: Straßenbau, Architektur, Vermessungswesen

🔢 Laurent-Reihe von cot(x)

Reihenentwicklung um \(x = 0\) (Laurent-Reihe wegen Pol):

\[\cot(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \ldots\] \[\cot(x) = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\] \[\text{Gültig für } 0 < |x| < \pi\]

Besonderheit: \(B_{2n}\) sind Bernoulli-Zahlen, \(\frac{1}{x}\)-Term wegen Pol bei x=0