Arkuskosekans (acsc) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkuskosekans:

\[y = \text{acsc}(x) \Leftrightarrow \csc(y) = x\] \[\text{für } |x| \geq 1 \text{ und } y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}\]

Beziehung zu arcsin: \(\text{acsc}(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\) für \(|x| \geq 1\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\text{acsc}(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ für } |x| \geq 1\] \[\text{acsc}(-x) = -\text{acsc}(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\csc(\text{acsc}(x)) = x \text{ für alle } |x| \geq 1\] \[\text{acsc}(x) + \text{asec}(x) = \frac{\pi}{2} \text{ für } x \geq 1\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{acsc}(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \text{ für } |x| > 1\] \[\int \text{acsc}(x) \, dx = x \cdot \text{acsc}(x) + \ln\left|x + \sqrt{x^2-1}\right| + C\] \[\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \, dx = -\text{acsc}(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung hat unterschiedliche Vorzeichen für x > 1 und x < -1

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen
Gegeben: Hypotenuse \(c = 10\), Gegenkathete \(a = 5\)
Berechnung:

\[\csc(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{10}{5} = 2\] \[\alpha = \text{acsc}(2) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30°\] \[\text{In Radiant: } \alpha = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\csc(30°) = \frac{1}{\sin(30°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Kosekanswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\text{acsc}(1) = \arcsin(1) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\] \[\text{acsc}(\sqrt{2}) = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\text{acsc}(2) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\] \[\text{acsc}(-2) = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -30° = -\frac{\pi}{6} \text{ rad}\]

Merkhilfe: acsc(x) = arcsin(1/x) für die häufigsten Werte

📝 Beispiel 3: Schwingungsanalyse

Aufgabe: Phasenwinkel bei gedämpfter Schwingung
Gegeben: Amplitudenverhältnis \(A/A_0 = 1{,}5\)
Berechnung:

\[\text{Wenn } \sin(\phi) = \frac{A_0}{A} = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3}\] \[\text{Dann } \csc(\phi) = \frac{A}{A_0} = 1{,}5\] \[\phi = \text{acsc}(1{,}5) = \arcsin\left(\frac{1}{1{,}5}\right) \approx 41{,}81°\] \[\text{Phasenwinkel: } \phi \approx 41{,}81° \text{ oder } 0{,}73 \text{ rad}\]

Anwendung: Schwingungstechnik, Signalanalyse, Elektrotechnik

🔵 Kosekans und rechtwinkliges Dreieck

Geometrische Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck:

\[\csc(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{c}{a}\] \[\text{Dann: } \alpha = \text{acsc}\left(\frac{c}{a}\right)\] \[\text{Bedingung: } \frac{c}{a} \geq 1 \text{ (immer erfüllt, da } c \geq a \text{)}\] \[\text{Pythagoras: } c^2 = a^2 + b^2\]

Interpretation: acsc gibt den Winkel für ein gegebenes Hypotenuse-zu-Gegenkathete-Verhältnis an