Hyperbolischer Kosinus (cosh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des hyperbolischen Kosinus:

\[\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] \[\text{für alle } x \in \mathbb{R}\]

Alternative Darstellung: \(\cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \text{ (hyperbolische Identität)}\] \[\cosh(x + y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)\] \[\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2\cosh^2(x) - 1\] \[\cosh(-x) = \cosh(x) \text{ (gerade Funktion)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x)\] \[\int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C\] \[\int \cosh^2(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sinh(2x)}{4} + C\]

Beachte: Die Ableitung von cosh ist sinh

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Berechnung verschiedener cosh-Werte
Berechnung:

\[\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1\] \[\cosh(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} = \frac{e + \frac{1}{e}}{2} \approx 1{,}543\] \[\cosh(\ln(2)) = \frac{e^{\ln(2)} + e^{-\ln(2)}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = 1{,}25\]

Symmetrie: \(\cosh(-1) = \cosh(1) = 1{,}543\) ✓

📝 Beispiel 2: Kettenlinie (Katenoid)

Aufgabe: Form einer hängenden Kette
Gegeben: Kette mit Parameter \(a = 10\) m
Gleichung:

\[y(x) = a \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\] \[y(x) = 10 \cdot \cosh\left(\frac{x}{10}\right)\] \[\text{Bei } x = 10\text{m: } y = 10 \cdot \cosh(1) \approx 15{,}43\text{m}\] \[\text{Durchhang: } \Delta y = y(10) - y(0) = 15{,}43 - 10 = 5{,}43\text{m}\]

Anwendung: Hängebrücken, Freileitungen, Architektur

📝 Beispiel 3: Wärmeleitungsgleichung

Aufgabe: Lösung einer Differentialgleichung
DGL: \(y'' - k^2 y = 0\) mit \(k = 2\)
Lösung:

\[y(x) = A \cosh(kx) + B \sinh(kx)\] \[\text{Mit Randbedingungen: } y(0) = 1, y'(0) = 0\] \[y(0) = A \cosh(0) + B \sinh(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A = 1\] \[y'(x) = Ak\sinh(kx) + Bk\cosh(kx), \quad y'(0) = Bk = 0 \Rightarrow B = 0\] \[\text{Lösung: } y(x) = \cosh(2x)\]

Physik: Temperaturverteilung, Schwingungen, Wellengleichungen

🔵 Hyperbel-Parametrisierung

Einheitshyperbel und cosh/sinh:

\[x^2 - y^2 = 1 \text{ (Einheitshyperbel)}\] \[\text{Parametrisierung: } x = \cosh(t), \quad y = \sinh(t)\] \[\text{Verifikation: } \cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1\] \[\text{Flächenparameter: } t = 2 \times \text{Fläche des hyperbolischen Sektors}\]

Analogie: Wie Kosinus/Sinus den Einheitskreis parametrisieren

🔢 Taylor-Reihe von cosh(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = \infty\] \[\text{Nur gerade Potenzen: charakteristisch für gerade Funktionen}\]

Beachte: Nur gerade Potenzen, da cosh eine gerade Funktion ist