Gamma Funktion Rechner

🔢 Definition und Eigenschaften

Die Gamma-Funktion und ihre fundamentalen Eigenschaften:

\[\text{Integral-Definition: } \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \, dt \quad (x > 0)\] \[\text{Funktionalgleichung: } \Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)\] \[\text{Fakultäts-Beziehung: } \Gamma(n) = (n-1)! \quad (n \in \mathbb{N})\] \[\text{Reflektionsformel: } \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}\]

🔄 Spezielle Werte

Wichtige Gamma-Funktionswerte:

\[\Gamma(1) = 0! = 1\] \[\Gamma(2) = 1! = 1\] \[\Gamma(3) = 2! = 2\] \[\Gamma(4) = 3! = 6\] \[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \approx 1{,}772\] \[\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \approx 0{,}886\] \[\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi} \approx 1{,}329\]

📊 Stirling-Approximation

Asymptotische Entwicklung für große Argumente:

\[\text{Stirling-Formel: } \Gamma(x) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \left(\frac{x}{e}\right)^x \quad \text{für } x \to \infty\] \[\text{Logarithmische Form: } \ln \Gamma(x) \sim x \ln x - x + \frac{1}{2}\ln(2\pi x)\] \[\text{Erweiterte Form: } \ln \Gamma(x) = x \ln x - x + \frac{1}{2}\ln(2\pi x) + \frac{1}{12x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)\]

📝 Beispiel 1: Grundlegende Berechnungen

Aufgabe: Gamma-Werte für verschiedene Argumente
Berechnung:

\[\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t} \, dt = \int_0^\infty e^{-t} \, dt = 1\] \[\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1 \cdot 1 = 1 = 1!\] \[\Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \cdot 1 = 2 = 2!\] \[\Gamma(4) = 3 \cdot \Gamma(3) = 3 \cdot 2 = 6 = 3!\] \[\Gamma(2{,}5) = 1{,}5 \cdot \Gamma(1{,}5) = 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 0{,}75\sqrt{\pi} \approx 1{,}329\]

Beobachtung: Γ(n) = (n-1)! für natürliche Zahlen n

📝 Beispiel 2: Beta-Funktion Beziehung

Aufgabe: Zusammenhang zwischen Gamma- und Beta-Funktion
Formel: B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
Berechnung:

\[\text{Beta-Funktion: } B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} \, dt\] \[\text{Gamma-Beziehung: } B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\] \[\text{Beispiel: } B(2,3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1! \cdot 2!}{4!} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12}\] \[\text{Verifikation: } B(2,3) = \int_0^1 t(1-t)^2 \, dt = \frac{1}{12}\]

Anwendung: Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Beta-Verteilung)

📝 Beispiel 3: Gaußsches Integral

Aufgabe: Berechnung des Gaußschen Integrals mit Gamma-Funktion
Integral: ∫₋∞^∞ e^(-x²) dx
Lösung:

\[\text{Substitution: } t = x^2, \quad dt = 2x \, dx, \quad x = \sqrt{t}\] \[\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \int_0^\infty e^{-t} \frac{1}{2\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} \, dt\] \[= \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] \[\text{Vollständiges Integral: } \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}\]

Bedeutung: Fundamentales Integral der Wahrscheinlichkeitstheorie

✅ Wichtige Funktionseigenschaften

Charakteristische Eigenschaften der Gamma-Funktion:

\[\text{✓ Funktionalgleichung: } \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\] \[\text{✓ Logarithmische Konvexität für } x > 0\] \[\text{✓ Reflektionsformel: } \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}\] \[\text{✓ Verdopplungsformel: } \Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}}\Gamma(2x)\] \[\text{✓ Bohr-Mollerup Theorem: eindeutige Lösung}\]

⚠️ Pole und Singularitäten

Verhalten bei speziellen Werten:

\[\text{⚠ Pole bei } x = 0, -1, -2, -3, \ldots \text{ (negative ganze Zahlen)}\] \[\text{⚠ } \lim_{x \to 0^+} \Gamma(x) = +\infty\] \[\text{⚠ } \lim_{x \to n^-} \Gamma(x) = (-1)^n \infty \text{ für } n \in \mathbb{Z}^-\] \[\text{⚠ Analytische Fortsetzung für } \text{Re}(x) < 0\]

📊 Gamma-Funktionswerte

💻 Code-Implementierungen

Implementierung der Gamma-Funktion:

Python (SciPy):
from scipy.special import gamma, loggamma, digamma
import numpy as np

# Gamma-Funktion
result = gamma(2.5) # Γ(2.5)
log_result = loggamma(2.5) # ln(Γ(2.5))

# Lanczos-Approximation (eigene Implementation)
def lanczos_gamma(x):
  if x < 0.5:
    return np.pi / (np.sin(np.pi * x) * lanczos_gamma(1 - x))
  # Lanczos-Koeffizienten...

MATLAB:
result = gamma(2.5); % Gamma-Funktion
log_result = gammaln(2.5); % log(Gamma)
psi_result = psi(2.5); % Digamma-Funktion

Mathematica:
Gamma[2.5]
LogGamma[2.5]
PolyGamma[2.5]

🎯 Numerische Algorithmen

Effiziente Berechnungsverfahren:

Stirling-Approximation:
def stirling_gamma(x):
  """Stirling-Approximation für große x"""
  return np.sqrt(2 * np.pi / x) * (x / np.e) ** x

Lanczos-Approximation:
def lanczos_gamma(x, g=7):
  """Hochpräzise Gamma-Funktion"""
  # Lanczos-Koeffizienten für g=7
  coeff = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, ...]
  if x < 0.5:
    return np.pi / (np.sin(np.pi * x) * lanczos_gamma(1 - x))
  # Implementation...

Funktionalgleichung für negative x:
def gamma_negative(x):
  """Gamma für negative Werte via Reflektionsformel"""
  if x > 0:
    return gamma(x)
  return np.pi / (np.sin(np.pi * x) * gamma(1 - x))

🎯 Numerische Stabilität

Herausforderungen und Lösungen:

\[\text{Problem: Overflow für große Argumente}\] \[\text{Lösung: Logarithmische Darstellung } \ln \Gamma(x)\] \[\text{Problem: Pole bei negativen ganzen Zahlen}\] \[\text{Lösung: Reflektionsformel und analytische Fortsetzung}\] \[\text{Problem: Verlust von Genauigkeit für kleine x}\] \[\text{Lösung: Funktionalgleichung } \Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x}\]