Hyperbolischer Tangens (tanh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des hyperbolischen Tangens:

\[\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\] \[\text{für alle } x \in \mathbb{R}\]

Alternative Darstellung: \(\tanh(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\tanh^2(x) = 1 - \text{sech}^2(x) = 1 - \frac{1}{\cosh^2(x)}\] \[\tanh(x + y) = \frac{\tanh(x) + \tanh(y)}{1 + \tanh(x)\tanh(y)}\] \[\tanh(2x) = \frac{2\tanh(x)}{1 + \tanh^2(x)}\] \[\tanh(-x) = -\tanh(x) \text{ (ungerade Funktion)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\tanh(x) = \text{sech}^2(x) = 1 - \tanh^2(x)\] \[\int \tanh(x) \, dx = \ln(\cosh(x)) + C\] \[\int \text{sech}^2(x) \, dx = \tanh(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv, tanh ist streng monoton steigend

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Berechnung verschiedener tanh-Werte
Berechnung:

\[\tanh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0\] \[\tanh(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{e^1 + e^{-1}} = \frac{e - \frac{1}{e}}{e + \frac{1}{e}} \approx 0{,}762\] \[\tanh(\ln(2)) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\]

Symmetrie: \(\tanh(-1) = -\tanh(1) = -0{,}762\) ✓

📝 Beispiel 2: Neuronale Netze (Aktivierungsfunktion)

Aufgabe: Anwendung als Aktivierungsfunktion
Eingabe: Gewichtete Summe \(z = 2{,}5\)
Berechnung:

\[\text{Aktivierung: } a = \tanh(z) = \tanh(2{,}5)\] \[a = \frac{e^{2{,}5} - e^{-2{,}5}}{e^{2{,}5} + e^{-2{,}5}} \approx 0{,}987\] \[\text{Ableitung: } \frac{da}{dz} = 1 - \tanh^2(2{,}5) = 1 - 0{,}987^2 \approx 0{,}026\]

Vorteil: Ausgabe zwischen -1 und 1, differenzierbar, verhindert Gradient Explosion

📝 Beispiel 3: Geschwindigkeitsaddition (Relativität)

Aufgabe: Rapidität in der speziellen Relativitätstheorie
Gegeben: Rapidität \(\phi = 1{,}5\)
Berechnung:

\[\text{Geschwindigkeit: } \frac{v}{c} = \tanh(\phi) = \tanh(1{,}5)\] \[\frac{v}{c} = \frac{e^{1{,}5} - e^{-1{,}5}}{e^{1{,}5} + e^{-1{,}5}} \approx 0{,}905\] \[\text{Also: } v \approx 0{,}905c = 271{.}000{.}000 \text{ m/s}\]

Physik: tanh garantiert, dass \(v < c\) (Lichtgeschwindigkeit)

🔵 Einheitshyperbel und tanh

Zusammenhang mit hyperbolischen Koordinaten:

\[x^2 - y^2 = 1 \text{ (Einheitshyperbel)}\] \[\text{Parametrisierung: } x = \cosh(t), \quad y = \sinh(t)\] \[\text{Steigung: } \frac{dy}{dx} = \frac{\sinh(t)}{\cosh(t)} = \tanh(t)\] \[\text{Geschwindigkeit: } \left|\frac{d}{dt}(x, y)\right|^2 = \sinh^2(t) + \cosh^2(t) = \cosh(2t)\]

Interpretation: tanh beschreibt die "normalisierte Geschwindigkeit" auf der Hyperbel

🔢 Taylor-Reihe von tanh(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\tanh(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}(2^{2n}-1)2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1\] \[= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} - \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = \frac{\pi}{2}\]

Beachte: \(B_{2n}\) sind die Bernoulli-Zahlen

🤖 Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen

Eigenschaften und Verwendung:

\[\text{Output: } y = \tanh(w \cdot x + b)\] \[\text{Gradient: } \frac{\partial y}{\partial x} = w(1 - \tanh^2(w \cdot x + b))\] \[\text{Vorteil: } -1 \leq y \leq 1 \text{ (zentriert um Null)}\] \[\text{Problem: } \text{Vanishing Gradient für große } |x|\]

Vergleich zu anderen Aktivierungsfunktionen:

• Sigmoid: Ausgabe (0,1), aber nicht nullzentriert
• ReLU: Ausgabe [0,∞), löst Vanishing Gradient Problem
• Tanh: Ausgabe (-1,1), nullzentriert, aber Vanishing Gradient

🎯 LSTM und GRU Gating-Mechanismen

Anwendung in rekurrenten neuronalen Netzen:

\[\text{Output Gate: } o_t = \sigma(W_o \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_o)\] \[\text{Cell State: } \tilde{C}_t = \tanh(W_C \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_C)\] \[\text{Hidden State: } h_t = o_t \odot \tanh(C_t)\] \[\text{Wobei: } \sigma = \text{Sigmoid}, \odot = \text{Element-wise Produkt}\]

Rolle von tanh: Reguliert die Information zwischen -1 und 1