Inverse unvollständige Beta Funktion berechnen
Rechner und Formeln zur Berechnung der inversen unvollständigen Beta Funktion Ix(a,b)
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Der Rechner auf dieser Seite berechnet die inverse unvollständige regularisierte Beta-Funktion
Zur Berechnung geben Sie die Beta Parameter a,b und y ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Die Parameter a und b müssen >0 sein. Für den Wert von y gilt 0 <= x <= 1.
Beschreibung
Die inverse regularisierte unvollständige Beta-Funktion berechnet zu gegebenen Parametern \( a \), \( b \) und einem Wert \( y \) (mit \( 0 \leq y \leq 1 \)) dasjenige \( x \), für das gilt:
\( I_x(a, b) = y \)
Dabei ist \( I_x(a, b) \) die regularisierte unvollständige Beta-Funktion:
\( I_x(a, b) = \dfrac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \)
mit
\( B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \)
\( B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \)
Die inverse Funktion liefert also das \( x \), für das die Fläche unter der Kurve von 0 bis \( x \) einen bestimmten Anteil \( y \) der Gesamtfläche (Beta-Funktion) ausmacht.
Beispiel:
Gegeben seien \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( y = 0{,}5 \).
Gesucht ist das \( x \), für das \( I_x(2, 3) = 0{,}5 \).
Berechnung:
Es wird numerisch das \( x \) bestimmt, für das die Gleichung erfüllt ist.
Das Ergebnis ist (numerisch berechnet):
\( x \approx 0{,}3857 \)
Hinweis: Die Berechnung erfolgt iterativ und das Ergebnis ist auf einige Nachkommastellen gerundet.
Übersicht: Beta-Funktionen
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Beta-Funktion \( B(a, b) \):
Die vollständige Beta-Funktion, definiert als \(\displaystyle B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Unvollständige Beta-Funktion \( B_x(a, b) \):
Das Integral von 0 bis \( x \) (statt bis 1): \(\displaystyle B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x(a, b) \):
Das Verhältnis der unvollständigen zur vollständigen Beta-Funktion: \(\displaystyle I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \). -
Inverse regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x^{-1}(a, b) \):
Liefert das \( x \), für das \( I_x(a, b) = y \) gilt, d. h.: \(\displaystyle I_x^{-1}(a, b)(y) = x \).
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
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Eulersche Gamma Funktion
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Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
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Beta Funktion
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Inverse unvollstaendige Beta Funktion
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erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
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Permutation
Kombinationen
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