Inverse unvollständige Beta Funktion Rechner

📝 Beispiel 1: Klassisches Beispiel

Aufgabe: Berechnung von I_x^-1(2,3)(0.5)
Gegeben: a = 2, b = 3, y = 0.5
Gesucht: x, für das I_x(2,3) = 0.5 gilt

\[\text{Gesucht: } x \text{ mit } I_x(2,3) = 0{,}5\] \[\text{Iterative Berechnung liefert: } x \approx 0{,}3857\] \[\text{Überprüfung: } I_{0{,}3857}(2,3) = 0{,}5\]

Interpretation: Bei der Beta(2,3)-Verteilung liegt der Median bei x ≈ 0.3857

📝 Beispiel 2: Statistische Anwendung

Aufgabe: Quantilberechnung für eine Beta-Verteilung
Szenario: Beta(10,5)-Verteilung für eine Erfolgswahrscheinlichkeit
Berechnung:

\[\text{Für das 75\%-Quantil: } y = 0{,}75\] \[\text{Gesucht: } x = I_x^{-1}(10,5)(0{,}75)\] \[\text{Berechnung ergibt: } x \approx 0{,}7122\] \[\text{Interpretation: Mit 75\% Wahrscheinlichkeit ist der wahre Wert } \leq 0{,}7122\]

Anwendung: Konfidenzintervalle für Erfolgswahrscheinlichkeiten

📝 Beispiel 3: Gleichverteilter Fall

Aufgabe: Spezialfall a = b = 1
Beobachtung: Beta(1,1) ist die Gleichverteilung auf [0,1]
Berechnung:

\[\text{Für a = b = 1 gilt: } I_x(1,1) = x\] \[\text{Daher: } I_x^{-1}(1,1)(y) = y\] \[\text{Beispiele: } I_x^{-1}(1,1)(0{,}3) = 0{,}3, \quad I_x^{-1}(1,1)(0{,}7) = 0{,}7\]

Bedeutung: Bei Gleichverteilung ist die inverse Beta-Funktion die Identität

✅ Berechnungsmethoden

Numerische Algorithmen zur Berechnung:

\[\text{✓ Root-Finding-Algorithmen (Newton-Raphson, Bisektionsverfahren)}\] \[\text{✓ Iteration zur Lösung von } I_x(a,b) - y = 0\] \[\text{✓ Fortschrittliche Algorithmen aus statistischen Bibliotheken}\] \[\text{✓ Asymptotische Approximationen für große Parameter}\] \[\text{✓ Fortsetzungsformeln für besondere Parameterbereiche}\]

⚠️ Numerische Herausforderungen

Wichtige Überlegungen bei der Implementierung:

\[\text{⚠ Konvergenzprobleme bei extremen Parametern (a, b ≫ 1)}\] \[\text{⚠ Genauigkeitsverlust bei y ≈ 0 oder y ≈ 1}\] \[\text{⚠ Startwertproblematik bei iterativen Verfahren}\] \[\text{⚠ Mögliche Oszillation bei bestimmten Parameterkombinationen}\]

💻 Code-Implementierungen

Effiziente Implementierung der inversen unvollständigen Beta-Funktion:

Python (SciPy):
from scipy.special import betaincinv
import numpy as np

# Inverse unvollständige Beta-Funktion
result = betaincinv(a, b, y) # I_x^(-1)(a,b)(y)

# Beispiel: 90%-Quantil der Beta(10, 5) Verteilung
q90 = betaincinv(10, 5, 0.9)
print(f"90%-Quantil: {q90:.4f}")

R:
result <- qbeta(y, a, b) # I_x^(-1)(a,b)(y)
# Beispiel für Konfidenzintervall
lower_bound <- qbeta(0.025, a, b)
upper_bound <- qbeta(0.975, a, b)

MATLAB:
result = betaincinv(y, a, b); % I_x^(-1)(a,b)(y)
% Beispiel: Median der Beta-Verteilung
median_value = betaincinv(0.5, a, b);

🎯 Statistische Anwendung

Vertrauensintervalle für Proportionen:

Python mit SciPy:
def beta_proportion_ci(successes, trials, conf_level=0.95):
  """Beta-Verteilungs-Konfidenzintervall für Proportionen"""
  alpha = 1 - conf_level
  
  # Posterior Beta-Parameter
  a = successes + 1 # Prior: Beta(1,1)
  b = trials - successes + 1
  
  # Untere und obere Grenzen
  lower = betaincinv(a, b, alpha/2)
  upper = betaincinv(a, b, 1 - alpha/2)
  
  return lower, upper

# Beispiel: 20 Erfolge in 50 Versuchen
lower, upper = beta_proportion_ci(20, 50)
print(f"95% CI: [{lower:.4f}, {upper:.4f}]")

🎯 Numerische Implementierung

Eigene Implementierung mit Bisektionsmethode:

Python:
from scipy.special import betainc

def inverse_betainc(a, b, y, tol=1e-10, max_iter=100):
  """Inverse unvollständige Beta mit Bisektionsmethode"""
  if y <= 0: return 0
  if y >= 1: return 1
  
  # Startgrenzen
  x_low, x_high = 0.0, 1.0
  
  for _ in range(max_iter):
    x_mid = (x_low + x_high) / 2
    value = betainc(a, b, x_mid)
    
    if abs(value - y) < tol:
      return x_mid
    
    if value < y:
      x_low = x_mid
    else:
      x_high = x_mid
  
  # Rückgabe der besten Näherung nach max_iter Iterationen
  return (x_low + x_high) / 2