RisingFactorial (steigende Fakultät)-Funktion Rechner
Rechner und Formel zur Berechnung der steigenden Fakultät x!
|
|
Diese Funktion liefert die steigende Fakultät zum angegebenen Argumenten.
Zur Berechnung geben Sie die Argumente ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Definition
Der Rising-Fakultät für eine Variable x und eine nichtnegative ganze Zahl n wird definiert als: $$ x^{(n)} \;=\; x \times (x+1) \times (x+2) \times \dots \times (x+n-1) $$ oder kurz $$ x^{(n)} = \prod_{k=0}^{n-1} (x + k) $$
Rekursive Definition
Basisfall: $$x^{(0)} = 1$$ Rekursionsschritt für \(n \ge 1\): $$x^{(n)} = x \times (x+1)^{(n-1)}$$
Anwendungen
- Auftreten als Pochhammer-Symbol in hypergeometrischen Funktionen
- Kombinatorische Zählung geordneter Listen (Permutationen)
- Ausgangspunkt für Verallgemeinerungen wie \(q\)-Pochhammer-Produkt und \(k\)-Fakultäten
Beispiel: Bei \(x=5\) ergeben sich
n x=5 0 1 1 5 2 5 x 6 = 30 3 5 x 6 x 7 = 210 4 5 x 6 x 7 x 8 = 1680
Trigonometrie
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl