Hypotenuse (hypot) Rechner

📐 Der Satz des Pythagoras

Fundamentaler Satz der Geometrie:

\[a^2 + b^2 = c^2\] \[\text{Daraus folgt: } c = \sqrt{a^2 + b^2}\] \[\text{hypot}(a, b) = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Bedingung: Gilt nur für rechtwinklige Dreiecke (ein Winkel = 90°)

🔄 Numerische Stabilität

Warum hypot() besser als √(a² + b²) ist:

\[\text{Problem: } a^2 + b^2 \text{ kann bei großen Werten überlaufen}\] \[\text{Lösung: } \text{hypot}(a, b) = |a| \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} \text{ für } |a| \geq |b|\] \[\text{Algorithmus vermeidet Unter-/Überläufe}\]

Vorteil: Präzise Berechnung auch bei extremen Werten

📊 Erweiterte Formen

Verallgemeinerungen der hypot-Funktion:

\[\text{2D: } \text{hypot}(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\] \[\text{3D: } \text{hypot}(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\] \[\text{nD: } \text{hypot}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\]

Anwendung: Berechnung der euklidischen Norm (Länge) von Vektoren

📝 Beispiel 1: Klassisches 3-4-5 Dreieck

Aufgabe: Hypotenuse eines Dreiecks mit Katheten 3 und 4
Berechnung:

\[c = \text{hypot}(3, 4) = \sqrt{3^2 + 4^2}\] \[c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] \[\text{Verifikation: } 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \checkmark\]

Ergebnis: Die Hypotenuse ist exakt 5 Einheiten lang

📝 Beispiel 2: Entfernungsberechnung

Aufgabe: Entfernung zwischen zwei Punkten
Gegeben: Punkt A(2, 3) und Punkt B(8, 11)
Berechnung:

\[\Delta x = 8 - 2 = 6\] \[\Delta y = 11 - 3 = 8\] \[d = \text{hypot}(6, 8) = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Anwendung: GPS-Navigation, Computergrafik, Robotik

📝 Beispiel 3: Dachkonstruktion

Aufgabe: Sparrenlänge für ein Dach berechnen
Gegeben: Dachbreite = 12 m, Dachhöhe = 5 m
Berechnung:

\[\text{Halbe Dachbreite: } a = \frac{12}{2} = 6 \text{ m}\] \[\text{Dachhöhe: } b = 5 \text{ m}\] \[\text{Sparrenlänge: } c = \text{hypot}(6, 5) = \sqrt{6^2 + 5^2}\] \[c = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7{,}81 \text{ m}\]

Praxis: Materialberechnung, Statik, Kosten

🔢 Bekannte ganzzahlige Lösungen

Tripel natürlicher Zahlen (a, b, c) mit a² + b² = c²:

🌐 3D-Erweiterung

Hypotenuse in drei Dimensionen:

\[\text{3D-Abstand: } d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\] \[\text{Beispiel: } A(1, 2, 3) \text{ zu } B(4, 6, 8)\] \[\Delta x = 3, \Delta y = 4, \Delta z = 5\] \[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7{,}07\]

Anwendung: 3D-Grafik, Robotik, Astronomie

📊 Euklidische Norm

Mathematische Verallgemeinerung:

\[\text{Vektor: } \vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\] \[\text{Euklidische Norm: } \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\] \[\text{Eigenschaften:}\] \[\|\vec{v}\| \geq 0 \text{ (nicht-negativ)}\] \[\|\alpha \vec{v}\| = |\alpha| \|\vec{v}\| \text{ (homogen)}\] \[\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \text{ (Dreiecksungleichung)}\]

📜 Geschichte des Pythagoras

Entwicklung und Bedeutung:

Antike (ca. 500 v. Chr.): Pythagoras von Samos

Babylonier (ca. 1900-1600 v. Chr.): Bereits bekannte Tripel

Moderne Zeit: Numerisch stabile Implementierungen

Heute: Standard in allen Programmiersprachen

Bedeutung: Einer der fundamentalsten mathematischen Sätze

💻 Algorithmus

Numerisch stabile Implementierung:

function hypot(a, b) {
  a = Math.abs(a);
  b = Math.abs(b);
  if (a > b) [a, b] = [b, a]; // a ≤ b
  if (a === 0) return b;
  var ratio = a / b;
  return b * Math.sqrt(1 + ratio * ratio);
}

Vorteil: Vermeidet Overflow bei großen und Underflow bei kleinen Werten