Zweiparametriger Arkustangens (atan2) Rechner
Berechnung des Winkels aus Y/X-Koordinaten für alle vier Quadranten
Geben Sie die Y- und X-Koordinaten ein und klicken Sie auf Berechnen um den entsprechenden Winkel zu ermitteln. Der zweiparametrige Arkustangens berücksichtigt alle vier Quadranten.
🧭 Quadranten-Diagramm
atan2(Y, X) berücksichtigt alle vier Quadranten
Zweiparametriger Arkustangens verstehen
Der zweiparametrige Arkustangens (atan2) ist eine erweiterte Version des normalen Arkustangens. Er nimmt zwei Parameter (Y, X) und kann dadurch den korrekten Quadranten bestimmen. Im Gegensatz zu atan(Y/X) hat atan2(Y, X) einen Wertebereich von [-π, π] Radiant bzw. [-180°, 180°].
📐 Definition
Zweiparametrige Funktion:
📊 Eigenschaften
- • Eingabe: Zwei reelle Zahlen (Y, X)
- • Wertebereich: \([-\pi, \pi]\) rad
- • Wertebereich: \([-180°, 180°]\)
- • Alle vier Quadranten
🔬 Anwendungen
- • Computergrafik (Rotation)
- • Robotik und Navigation
- • Signalverarbeitung
- • Physik (Vektorwinkel)
⭐ Quadranten-Logik
- • Q1: X > 0, Y > 0 → [0°, 90°]
- • Q2: X < 0, Y > 0 → [90°, 180°]
- • Q3: X < 0, Y < 0 → [-180°, -90°]
- • Q4: X > 0, Y < 0 → [-90°, 0°]
Mathematische Eigenschaften
📐 Definition von atan2
Mathematische Definition des zweiparametrigen Arkustangens:
\[\text{atan2}(Y, X) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{Y}{X}\right) & \text{wenn } X > 0 \\ \arctan\left(\frac{Y}{X}\right) + \pi & \text{wenn } X < 0, Y \geq 0 \\ \arctan\left(\frac{Y}{X}\right) - \pi & \text{wenn } X < 0, Y < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \text{wenn } X = 0, Y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{wenn } X = 0, Y < 0 \\ \text{undefiniert} & \text{wenn } X = 0, Y = 0 \end{cases}\]
Vorteil: Eindeutige Bestimmung des Winkels in allen Quadranten
🔄 Vergleich: atan vs. atan2
Unterschiede zwischen den beiden Funktionen:
\[\text{atan}(x) \text{ hat Wertebereich } \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\] \[\text{atan2}(Y, X) \text{ hat Wertebereich } [-\pi, \pi]\] \[\text{atan}(1) = \text{atan}(-1) \text{ (Mehrdeutigkeit)}\] \[\text{atan2}(1, 1) \neq \text{atan2}(-1, -1) \text{ (Eindeutigkeit)}\]
Schlüssel: atan2 löst das Quadrantenproblem von atan
📊 Implementierung und Eigenschaften
Numerische und algorithmische Aspekte:
\[\text{atan2}(Y, X) = \text{arg}(X + iY) \text{ (komplexe Darstellung)}\] \[\text{atan2}(kY, kX) = \text{atan2}(Y, X) \text{ für } k > 0 \text{ (Skalierungsunabhängig)}\] \[\text{atan2}(-Y, -X) = \text{atan2}(Y, X) \pm \pi\]
Numerik: Stabil für alle Eingabewerte außer (0,0)
Praktische Berechnungsbeispiele
📝 Beispiel 1: Quadranten-Unterscheidung
Aufgabe: Winkel für verschiedene Quadranten
Berechnung:
\[\text{atan2}(1, 1) = 45° \text{ (Quadrant I)}\] \[\text{atan2}(1, -1) = 135° \text{ (Quadrant II)}\] \[\text{atan2}(-1, -1) = -135° \text{ (Quadrant III)}\] \[\text{atan2}(-1, 1) = -45° \text{ (Quadrant IV)}\]
Vergleich: \(\arctan(1) = 45°\) (nur ein Quadrant), aber atan2 unterscheidet alle vier!
📝 Beispiel 2: Roboter-Navigation
Aufgabe: Roboter soll zu Zielpunkt (3, 4) navigieren
Gegeben: Roboter bei Ursprung (0, 0)
Berechnung:
\[\text{Richtungswinkel: } \theta = \text{atan2}(4, 3)\] \[\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13°\] \[\text{Entfernung: } r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\] \[\text{Zielrichtung: } 53{,}13° \text{ von der positiven X-Achse}\]
Vorteil: Eindeutige Richtungsbestimmung ohne Quadranten-Mehrdeutigkeit
📝 Beispiel 3: Vektor-Winkel in der Physik
Aufgabe: Geschwindigkeitsvektor analysieren
Gegeben: \(\vec{v} = (-2, 3)\) m/s
Berechnung:
\[\text{Richtungswinkel: } \alpha = \text{atan2}(3, -2)\] \[\alpha = \arctan\left(\frac{3}{-2}\right) + \pi \approx 180° - 56{,}31° = 123{,}69°\] \[\text{Betrag: } |\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \text{ m/s}\] \[\text{Richtung: } 123{,}69° \text{ (Quadrant II)}\]
Physik: Wichtig für Bewegungsanalyse und Kraftzerlegung
Quadranten-Details und Spezialfälle
🧭 Achsen-Spezialfälle
- • \(\text{atan2}(0, X)\) für \(X > 0\): \(0°\)
- • \(\text{atan2}(0, X)\) für \(X < 0\): \(\pm 180°\)
- • \(\text{atan2}(Y, 0)\) für \(Y > 0\): \(90°\)
- • \(\text{atan2}(Y, 0)\) für \(Y < 0\): \(-90°\)
⚠️ Besondere Eigenschaften
- • \(\text{atan2}(0, 0)\): Undefiniert
- • Stetig in allen Quadranten
- • Unstetigkeitslinie bei negativer X-Achse
- • Periodizität: \(2\pi\) für Rotationen
Anwendungen in verschiedenen Bereichen
💻 Computergrafik and Game Development
Rotation und Ausrichtung von Objekten:
\[\text{Sprite-Rotation: } \theta = \text{atan2}(\Delta Y, \Delta X)\] \[\text{Kamera-Blickrichtung: } \text{yaw} = \text{atan2}(z_{target} - z_{camera}, x_{target} - x_{camera})\] \[\text{Vektor zwischen Objekten: } \vec{direction} = \text{atan2}(player_y - enemy_y, player_x - enemy_x)\]
Anwendung: Automatische Objekt-Ausrichtung, KI-Bewegung, Kamera-Steuerung
🤖 Robotik und Automatisierung
Navigation und Pfadplanung:
\[\text{Zielrichtung: } \alpha = \text{atan2}(y_{goal} - y_{robot}, x_{goal} - x_{robot})\] \[\text{Hindernisumgehung: Tangentenwinkeln für Ausweichmanöver}\] \[\text{Sensor-Fusion: Kombination von Kompass und GPS-Daten}\]
Anwendung: Autonome Fahrzeuge, Drohnen-Navigation, Industrieroboter
📡 Signalverarbeitung und Kommunikation
Phasenwinkel und Modulation:
\[\text{IQ-Demodulation: } \phi = \text{atan2}(Q, I)\] \[\text{FFT-Phasenspektrum: Frequenzkomponenten-Analyse}\] \[\text{Radar/Sonar: Richtungsbestimmung von Reflexionen}\]
Anwendung: Digitale Kommunikation, Radar-Systeme, Audio-Processing
💡 Wichtige Eigenschaften der atan2-Funktion:
- Eingabe: Zwei Parameter (Y, X) als reelle Zahlen
- Wertebereich: \([-\pi, \pi]\) rad bzw. \([-180°, 180°]\)
- Quadranten: Eindeutige Bestimmung aller vier Quadranten
- Stabilität: Numerisch stabil für fast alle Eingaben
🔬 Anwendungsgebiete der atan2-Funktion:
- Computergrafik: Rotation, Animation, Sprite-Ausrichtung
- Robotik: Navigation, Pfadplanung, Sensorik
- Signalverarbeitung: Phasenbestimmung, IQ-Demodulation
- Physik: Vektorwinkel, Kräftezerlegung, Bewegungsanalyse
Implementierungs-Hinweise für Entwickler
💻 Programmier-Implementierung
Tipps für die korrekte Verwendung von atan2:
Parameter-Reihenfolge beachten:
atan2(y, x)- Y zuerst, dann X (in den meisten Sprachen)
Null-Behandlung:
if (x == 0 && y == 0) { /* Spezialbehandlung */ }
Grad-Umrechnung:
angle_degrees = atan2(y, x) * 180.0 / Math.PI
Achtung: Verschiedene Programmiersprachen können unterschiedliche Parameter-Reihenfolgen haben!
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl