Radiant in Grad (rad2deg) Rechner

📐 Herleitung der Umrechnungsformel

Von der Bogenmaß-Definition zur Gradumrechnung:

\[\text{Vollkreis: } 2\pi \text{ rad} = 360°\] \[\text{Daraus folgt: } \pi \text{ rad} = 180°\] \[\text{Umrechnung: } \text{deg} = \text{rad} \times \frac{180°}{\pi}\]

Konstante: 180/π ≈ 57.29577951308232

🔄 Warum Grad in der Praxis?

Vorteile von Gradangaben:

\[\text{Intuitive Teilung: } 360° = 2^3 \times 3^2 \times 5°\] \[\text{Viele Teiler: } 360 = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ...\] \[\text{Historisch: Babylonische Astronomie (360 Tage/Jahr)}\]

Vorteil: Einfache mentale Berechnungen und Schätzungen

📊 Beide Umrechnungsrichtungen

Vollständige Winkelkonvertierung:

\[\text{Radiant → Grad: } \text{deg} = \text{rad} \times \frac{180}{\pi}\] \[\text{Grad → Radiant: } \text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180}\] \[\text{Kontrolle: } \text{rad2deg}(\text{deg2rad}(x)) = x\]

Umkehrfunktionen: rad2deg und deg2rad sind zueinander invers

📝 Beispiel 1: Wichtige Radiant-Werte

Aufgabe: Umrechnung trigonometrischer Standardwerte
Berechnung:

\[\frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = \frac{\pi \times 180}{2\pi} = \frac{180}{2} = 90°\] \[\frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{4} = 45°\] \[\frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{6} = 30°\] \[2\pi \times \frac{180}{\pi} = 2 \times 180 = 360°\]

Merkhilfe: π-Teile ergeben einfache Gradwerte

📝 Beispiel 2: GPS und Navigation

Aufgabe: Umrechnung von Koordinaten
Gegeben: Breitengrad 0,8727 rad (≈ 50° Nord)
Berechnung:

\[\text{Breitengrad} = 0{,}8727 \times \frac{180}{\pi}\] \[= 0{,}8727 \times 57{,}296 \approx 50{,}0°\text{ Nord}\] \[\text{Interpretation: Köln, Deutschland}\]

Praxis: GPS-Geräte zeigen meist Grad für bessere Verständlichkeit

📝 Beispiel 3: Maschinenbau

Aufgabe: Rotationsgeschwindigkeit umrechnen
Gegeben: ω = 10,47 rad/s (Winkelgeschwindigkeit)
Berechnung:

\[\text{Grad/s} = 10{,}47 \times \frac{180}{\pi} \approx 10{,}47 \times 57{,}296 \approx 600°/\text{s}\] \[\text{Umdrehungen/min} = \frac{600°/\text{s}}{360°} \times 60\text{s} = 100\text{ U/min}\]

Technik: Drehzahlen werden meist in U/min oder °/s angegeben

📊 Radiant zu Grad Vergleichstabelle

⭐ Bedeutungsvolle Winkel

Winkel mit besonderer geometrischer oder praktischer Bedeutung:

\[\frac{\pi}{12} \text{ rad} = 15° \text{ (Uhrzeiger: 1 Stunde = 30°, 1/2 Stunde = 15°)}\] \[\frac{\pi}{6} \text{ rad} = 30° \text{ (Sechseck, Gleichseitiges Dreieck)}\] \[\frac{\pi}{4} \text{ rad} = 45° \text{ (Achteck, isometrische Projektion)}\] \[\frac{\pi}{2} \text{ rad} = 90° \text{ (Rechter Winkel, Quadrat)}\] \[\frac{2\pi}{3} \text{ rad} = 120° \text{ (Dreieck-Winkel bei Dreieck mit 3 gleichen Seiten)}\]

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
function rad2deg(radians) {
  return radians * 180 / Math.PI;
}

Python:
import math
def rad2deg(radians):
  return math.degrees(radians)

C++:
double rad2deg(double radians) {
  return radians * 180.0 / M_PI;
}

Konstante: 180/π ≈ 57.29577951308232

📜 Geschichte der Winkelmaße

Entwicklung der verschiedenen Winkelsysteme:

Babylonier (ca. 2000 v. Chr.): 360° System (360 ≈ Tage/Jahr)

Griechen (ca. 300 v. Chr.): Erste trigonometrische Tafeln

Euler (1748): Einführung des Radiant-Konzepts

Heute: Beide Systeme parallel in verschiedenen Bereichen

Warum 360°? Astronomische Beobachtungen und einfache Teilbarkeit