Kosekans (csc) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Kosekans:

\[\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} \text{ für } \sin(\alpha) \neq 0\] \[\csc(-x) = -\csc(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\csc(x + 2\pi) = \csc(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)\]

🔄 Trigonometrische Identitäten

Zusammenhänge mit anderen trigonometrischen Funktionen:

\[\csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \text{ (Pythagoräische Identität)}\] \[\csc(2x) = \frac{\csc(x)\sec(x)}{2}\] \[\csc\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{2}{1 - \cos(x)}}\] \[\sin(x) \cdot \csc(x) = 1 \text{ (Kehrwertbeziehung)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)\] \[\int \csc(x) \, dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\csc(x) = \csc(x)(\csc^2(x) + \cot^2(x))\] \[\int \csc(ax) \, dx = -\frac{1}{a}\ln|\csc(ax) + \cot(ax)| + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer negativ für positive Sinuswerte

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Hypotenuse aus Gegenkathete und Winkel berechnen
Gegeben: Gegenkathete \(a = 5\), Winkel \(\alpha = 30°\)
Berechnung:

\[\csc(30°) = \frac{c}{a} = \frac{c}{5}\] \[c = 5 \cdot \csc(30°) = 5 \cdot 2 = 10\] \[\text{Hypotenuse: } c = 10 \text{ Einheiten}\]

Verifikation: \(\csc(30°) = \frac{1}{\sin(30°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Kosekanswerte merken
Berechnung:

\[\csc(30°) = \frac{1}{\sin(30°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\] \[\csc(45°) = \frac{1}{\sin(45°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\] \[\csc(60°) = \frac{1}{\sin(60°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155\] \[\csc(90°) = \frac{1}{\sin(90°)} = \frac{1}{1} = 1\]

Merkhilfe: \(\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}\) - Kehrwert des Sinus

📝 Beispiel 3: Schwingungsanalyse

Aufgabe: Amplitude einer gedämpften Schwingung
Gegeben: Dämpfungswinkel \(\phi = 15°\), Grundamplitude \(A_0 = 3\)
Berechnung:

\[\text{Effektive Amplitude: } A_{eff} = A_0 \cdot \csc(\phi)\] \[A_{eff} = 3 \cdot \csc(15°) = 3 \cdot \frac{1}{\sin(15°)} \approx 3 \cdot 3{,}864 = 11{,}59\] \[\text{Verstärkungsfaktor: } \frac{A_{eff}}{A_0} = \csc(15°) \approx 3{,}864\]

Anwendung: Schwingungstechnik, Akustik, Elektrotechnik

🔢 Laurent-Reihe von csc(x)

Reihenentwicklung um \(x = 0\) (Laurent-Reihe wegen Pol):

\[\csc(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} + \ldots\] \[\csc(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\] \[\text{Gültig für } 0 < |x| < \pi\]

Besonderheit: \(B_{2n}\) sind Bernoulli-Zahlen, \(\frac{1}{x}\)-Term wegen Pol bei x=0