Kardinalsinus (sinc) Rechner

📐 Grunddefinition

Definition und Grenzwertverhalten:

\[\text{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{für } x \neq 0 \\ 1 & \text{für } x = 0 \end{cases}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \text{ (L'Hôpital)}\]

🔄 Normierte vs. Unnormierte Form

Zwei verschiedene Definitionen des Kardinalsinus:

\[\text{Unnormiert: } \text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\] \[\text{Normiert: } \text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\] \[\text{Beziehung: } \text{sinc}_{\text{norm}}(x) = \text{sinc}_{\text{unnorm}}(\pi x)\]

Hier verwendet: Unnormierte Form (wie im RedCrab Calculator)

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{sinc}(x) = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x)}{x^2} = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}\] \[\int \text{sinc}(x) \, dx = \text{Si}(x) + C\]

Beachte: Si(x) ist der Sinus Integralis (Integralsinusfunktion)

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Kardinalsinus für verschiedene Werte
Berechnung:

\[\text{sinc}(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\] \[\text{sinc}(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\pi} = \frac{0}{\pi} = 0\] \[\text{sinc}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637\]

Charakteristisch: Hauptmaximum bei x=0, Nullstellen bei Vielfachen von π

📝 Beispiel 2: Signalverarbeitung

Aufgabe: Sampling-Theorem (Nyquist-Shannon)
Anwendung: Rekonstruktion eines Signals aus Abtastpunkten

\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - nT}{T}\right)\] \[\text{Wobei } T \text{ = Abtastperiode}\] \[\text{Bedingung: } f_s = \frac{1}{T} \geq 2f_{\max} \text{ (Nyquist-Kriterium)}\]

Bedeutung: Sinc-Interpolation ermöglicht perfekte Signalrekonstruktion

📝 Beispiel 3: Optische Beugung

Aufgabe: Beugung am Einzelspalt
Gegeben: Spaltbreite \(b = 0{,}1\) mm, Wellenlänge \(\lambda = 632{,}8\) nm
Berechnung:

\[I(\theta) = I_0 \cdot \text{sinc}^2\left(\frac{\pi b \sin(\theta)}{\lambda}\right)\] \[\text{Erstes Minimum bei: } \sin(\theta_1) = \frac{\lambda}{b}\] \[\theta_1 = \arcsin\left(\frac{632{,}8 \times 10^{-9}}{0{,}1 \times 10^{-3}}\right) = \arcsin(0{,}006328) \approx 0{,}36°\]

Physik: Sinc² beschreibt das Beugungsmuster am Einzelspalt

🔢 Nullstellen und Extrema

Wichtige Punkte der sinc-Funktion:

\[\text{Nullstellen: } x_n = n\pi \text{ für } n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\] \[\text{Hauptmaximum: } \text{sinc}(0) = 1\] \[\text{Erste Nebenmaxima bei: } x \approx \pm 4{,}493, \pm 7{,}725, \ldots\] \[\text{Erstes Minimum: } \text{sinc}(4{,}493) \approx -0{,}217\]

🔢 Taylor-Reihe von sinc(x)

Reihenentwicklung um x = 0:

\[\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!}\] \[= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \frac{x^8}{9!} - \ldots\] \[\text{Konvergiert für alle } x \in \mathbb{R}\]

Besonderheit: Nur gerade Potenzen von x (gerade Funktion)

🖼️ Sinc-Interpolation

Hochqualitative Bildvergrößerung durch sinc-Interpolation:

\[f(x) = \sum_{n} f[n] \cdot \text{sinc}(x - n)\] \[\text{2D-Erweiterung: } f(x,y) = \sum_{m,n} f[m,n] \cdot \text{sinc}(x-m) \cdot \text{sinc}(y-n)\]

Vorteil: Theoretisch perfekte Rekonstruktion bei bandbegrenzten Signalen

Nachteil: Unendliche Ausdehnung → praktische Approximationen nötig