Exponentialfunktion (exp) Rechner

⚡ Die Eulersche Zahl e

Definition und Eigenschaften der Basis der Exponentialfunktion:

\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828\] \[e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots\] \[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\] \[\frac{d}{dx}e^x = e^x \text{ (einzigartige Eigenschaft)}\]

🔄 Exponentialgesetze

Wichtige Rechenregeln für die Exponentialfunktion:

\[\text{Produktregel: } e^x \cdot e^y = e^{x+y}\] \[\text{Quotientenregel: } \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}\] \[\text{Potenzregel: } (e^x)^y = e^{xy}\] \[\text{Umkehrfunktion: } \ln(e^x) = x \text{ und } e^{\ln(x)} = x\]

📊 Analysis und Calculus

Eigenschaften in der Analysis:

\[\text{Ableitung: } \frac{d}{dx}e^x = e^x\] \[\text{Integral: } \int e^x dx = e^x + C\] \[\text{Kettenregel: } \frac{d}{dx}e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)}\] \[\text{Grenzwert: } \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \text{ für alle } n\]

📝 Beispiel 1: Exponentielles Wachstum

Aufgabe: Bevölkerungswachstum mit 2% jährlich
Formel: N(t) = N₀ · e^(rt)
Berechnung:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{rt}\] \[r = 0{,}02 \text{ (2% pro Jahr)}, \quad t = 10 \text{ Jahre}\] \[N(10) = N_0 \cdot e^{0{,}02 \times 10} = N_0 \cdot e^{0{,}2}\] \[e^{0{,}2} \approx 1{,}221\] \[\text{Wachstum: } 22{,}1\% \text{ in 10 Jahren}\]

Ergebnis: Die Bevölkerung wächst um 22,1% in 10 Jahren

📝 Beispiel 2: Radioaktiver Zerfall

Aufgabe: Zerfall von Kohlenstoff-14
Halbwertszeit: 5730 Jahre
Berechnung:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\] \[\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}\] \[\text{Nach 1000 Jahren: } N(1000) = N_0 \cdot e^{-0{,}121}\] \[e^{-0{,}121} \approx 0{,}886\] \[\text{Verbleibend: } 88{,}6\% \text{ der ursprünglichen Menge}\]

Archäologie: Grundlage der Radiokarbondatierung

📝 Beispiel 3: Kontinuierliche Verzinsung

Aufgabe: Kapital mit kontinuierlicher Verzinsung
Gegeben: K₀ = 1000€, r = 3% p.a., t = 5 Jahre
Berechnung:

\[K(t) = K_0 \cdot e^{rt}\] \[K(5) = 1000 \cdot e^{0{,}03 \times 5} = 1000 \cdot e^{0{,}15}\] \[e^{0{,}15} \approx 1{,}162\] \[K(5) \approx 1162\text{€}\] \[\text{Zinsen: } 162\text{€} \text{ in 5 Jahren}\]

Finanzen: Kontinuierliche Verzinsung maximiert das Wachstum

📊 Tabelle wichtiger e^x-Werte

📈 Differentialrechnung

Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion:

\[\frac{d}{dx}e^x = e^x \quad \text{(besondere Eigenschaft)}\] \[\frac{d}{dx}e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)} \quad \text{(Kettenregel)}\] \[\frac{d}{dx}e^{ax} = a \cdot e^{ax}\] \[\frac{d^n}{dx^n}e^x = e^x \quad \text{(alle höheren Ableitungen)}\]

📊 Integralrechnung

Wichtige Integrale mit der Exponentialfunktion:

\[\int e^x dx = e^x + C\] \[\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C\] \[\int x e^x dx = (x-1)e^x + C \quad \text{(partielle Integration)}\] \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \quad \text{(Gauß-Integral)}\]

🔄 Exponentialfunktion als Lösung

Fundamentale Rolle in Differentialgleichungen:

\[\frac{dy}{dx} = y \quad \Rightarrow \quad y = Ce^x\] \[\frac{dy}{dx} = ky \quad \Rightarrow \quad y = Ce^{kx}\] \[\frac{dy}{dx} + ay = 0 \quad \Rightarrow \quad y = Ce^{-ax}\] \[\text{Charakteristische Gleichung: } r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots = 0\]

🌀 Euler-Formel

Verbindung zu trigonometrischen Funktionen:

\[e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \quad \text{(Euler-Formel)}\] \[e^{i\pi} = -1 \quad \text{(Euler-Identität)}\] \[e^{x+iy} = e^x(\cos(y) + i\sin(y))\] \[\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\]

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
Math.exp(x) // Exponentialfunktion
Math.exp(1) // = e ≈ 2.718

Python:
import math
math.exp(x) # Exponentialfunktion
math.exp(2) # = e² ≈ 7.389

C++:
#include <cmath>
exp(x) // Exponentialfunktion
exp(0.5) // = √e ≈ 1.649

Hinweis: Die exp()-Funktion ist in allen wissenschaftlichen Programmiersprachen verfügbar