Arkussinus (asin) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkussinus:

\[y = \arcsin(x) \Leftrightarrow \sin(y) = x\] \[\text{für } x \in [-1, 1] \text{ und } y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\]

Verifikation: \(\sin(\arcsin(x)) = x\) für alle \(x \in [-1, 1]\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\] \[\arcsin(-x) = -\arcsin(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\arcsin(x) = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \text{ für } |x| < 1\] \[\arcsin(x) = \text{asec}\left(\frac{1}{x}\right) \text{ für } |x| \geq 1\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \text{ für } |x| < 1\] \[\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C\] \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv, arcsin ist streng monoton steigend

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen
Gegeben: Gegenkathete \(a = 5\), Hypotenuse \(c = 10\)
Berechnung:

\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5}{10} = 0{,}5\] \[\alpha = \arcsin(0{,}5) = 30°\] \[\text{In Radiant: } \alpha = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\sin(30°) = 0{,}5\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Sinuswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\arcsin(0) = 0° = 0 \text{ rad}\] \[\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\] \[\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\] \[\arcsin(1) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\]

Merkhilfe: Diese Werte entsprechen den Hauptwinkeln im ersten Quadranten

📝 Beispiel 3: Pendelschwingung

Aufgabe: Maximaler Auslenkungswinkel eines Pendels
Gegeben: Pendellänge \(L = 1\) m, maximale Höhe \(h = 0{,}1\) m
Berechnung:

\[\text{Geometrie: } \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{h}{L} = \frac{0{,}1}{1} = 0{,}1\] \[\frac{\theta}{2} = \arcsin(0{,}1) \approx 5{,}74°\] \[\theta = 2 \times 5{,}74° = 11{,}48°\] \[\text{Maximaler Auslenkungswinkel: } \theta \approx 11{,}5°\]

Anwendung: Physik (Pendel), Mechanik, Uhrentechnik

🔵 Einheitskreis und arcsin

Geometrische Bedeutung im Einheitskreis:

\[x^2 + y^2 = 1 \text{ (Einheitskreis)}\] \[\text{Für Punkt } (x, y) \text{ auf dem Kreis: } \sin(\theta) = y\] \[\text{Dann: } \theta = \arcsin(y) \text{ mit } \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\] \[\text{Bogenlänge: } s = \theta \cdot r = \arcsin(y) \cdot 1 = \arcsin(y)\]

Interpretation: arcsin(y) gibt den Winkel im rechten Halbkreis an