log beta Funktion Rechner
Online Rechner zur Berechnung der log beta Funktion
|
|
Zur Berechnung geben Sie die Werte ein die berechnet werden soll
und klicken Sie auf den Button Rechnen .
Definition
Die Log-Beta-Funktion ist definiert als der natürliche Logarithmus der Betafunktion: \[ \mathrm{LogBeta}(a,b) = \ln\bigl(B(a,b)\bigr) \quad(a>0,\;b>0). \] Da \[ B(a,b) =\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, \] ergibt sich \[ \mathrm{LogBeta}(a,b) = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b). \]
Wichtige Eigenschaften
- Symmetrie \[ \mathrm{LogBeta}(a,b) = \mathrm{LogBeta}(b,a). \] - Rekurrenz \[ \mathrm{LogBeta}(a+1,b) = \mathrm{LogBeta}(a,b) + \ln\!\bigl(\tfrac{a}{a+b}\bigr), \] analog für \(b+1\). - Numerische Stabilität Durch die Umwandlung in den Log-Raum vermeidet man Über- oder Unterläufe bei großen Parametern.Übersicht: Beta-Funktionen
-
Beta-Funktion \( B(a, b) \):
Die vollständige Beta-Funktion, definiert als \(\displaystyle B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Unvollständige Beta-Funktion \( B_x(a, b) \):
Das Integral von 0 bis \( x \) (statt bis 1): \(\displaystyle B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x(a, b) \):
Das Verhältnis der unvollständigen zur vollständigen Beta-Funktion: \(\displaystyle I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \). -
Inverse regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x^{-1}(a, b) \):
Liefert das \( x \), für das \( I_x(a, b) = y \) gilt, d. h.: \(\displaystyle I_x^{-1}(a, b)(y) = x \).
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl