Hyperbolischer Sinus (sinh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des hyperbolischen Sinus:

\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\] \[\text{für alle } x \in \mathbb{R}\]

Alternative Darstellung: \(\sinh(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \text{ (hyperbolische Identität)}\] \[\sinh(x + y) = \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)\] \[\sinh(2x) = 2\sinh(x)\cosh(x)\] \[\sinh(-x) = -\sinh(x) \text{ (ungerade Funktion)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x)\] \[\int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C\] \[\int \sinh^2(x) \, dx = \frac{\sinh(2x)}{4} - \frac{x}{2} + C\]

Beachte: Die Ableitung von sinh ist cosh

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Berechnung verschiedener sinh-Werte
Berechnung:

\[\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0\] \[\sinh(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} \approx 1{,}175\] \[\sinh(\ln(2)) = \frac{e^{\ln(2)} - e^{-\ln(2)}}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4} = 0{,}75\]

Antisymmetrie: \(\sinh(-1) = -\sinh(1) = -1{,}175\) ✓

📝 Beispiel 2: Relativitätstheorie - Rapidität

Aufgabe: Rapidität und Geschwindigkeit
Gegeben: Rapidität \(\phi = 1{,}5\)
Berechnung:

\[\text{Geschwindigkeit: } v = c \cdot \tanh(\phi) = c \cdot \frac{\sinh(\phi)}{\cosh(\phi)}\] \[\sinh(1{,}5) \approx 2{,}129, \quad \cosh(1{,}5) \approx 2{,}352\] \[\tanh(1{,}5) = \frac{2{,}129}{2{,}352} \approx 0{,}905\] \[\text{Geschwindigkeit: } v \approx 0{,}905c \text{ (90,5% der Lichtgeschwindigkeit)}\]

Physik: Rapiditäten addieren sich linear, Geschwindigkeiten nicht

📝 Beispiel 3: Differentialgleichung

Aufgabe: Lösung der DGL \(y'' - k^2 y = 0\)
Ansatz: \(y = A\sinh(kx) + B\cosh(kx)\)
Mit Randbedingungen:

\[\text{Randbedingungen: } y(0) = 0, \quad y'(0) = v_0\] \[y(0) = A\sinh(0) + B\cosh(0) = B = 0\] \[y'(x) = Ak\cosh(kx), \quad y'(0) = Ak = v_0 \Rightarrow A = \frac{v_0}{k}\] \[\text{Lösung: } y(x) = \frac{v_0}{k}\sinh(kx)\]

Anwendung: Schwingungen, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichungen

🔵 Hyperbel-Parametrisierung

Einheitshyperbel und cosh/sinh:

\[x^2 - y^2 = 1 \text{ (Einheitshyperbel)}\] \[\text{Parametrisierung: } x = \cosh(t), \quad y = \sinh(t)\] \[\text{Verifikation: } \cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1\] \[\text{Flächenparameter: } t = 2 \times \text{Fläche des hyperbolischen Sektors}\]

Vergleich: Wie \(\cos(t)\) und \(\sin(t)\) den Einheitskreis parametrisieren

🔢 Taylor-Reihe von sinh(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\sinh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = \infty\] \[\text{Nur ungerade Potenzen: charakteristisch für ungerade Funktionen}\]

Beachte: Nur ungerade Potenzen, da sinh eine ungerade Funktion ist

🔄 Komplexe Beziehungen

Verbindung zwischen hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen:

\[\sinh(x) = -i \sin(ix) \text{ (imaginäres Argument)}\] \[\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = -i \sinh(ix)\] \[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \text{ (reelles Argument)}\] \[\text{Euler-Beziehung: } e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\]

Interessant: Hyperbolische Funktionen sind "rotierte" trigonometrische Funktionen