Inverser hyperbolischer Tangens (atanh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des inversen hyperbolischen Tangens:

\[\text{atanh}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\] \[\text{für } x \in (-1, 1)\]

Herleitung: Aus \(y = \tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\) folgt \(x = \text{atanh}(y)\)

🔄 Beziehungen zu anderen Funktionen

Zusammenhänge mit verwandten Funktionen:

\[\tanh(\text{atanh}(x)) = x \text{ für } x \in (-1, 1)\] \[\text{atanh}(\tanh(x)) = x \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\] \[\text{atanh}(x) = -\text{atanh}(-x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\text{atanh}(x) = \frac{1}{2}\text{asinh}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \text{ für } |x| < 1\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{atanh}(x) = \frac{1}{1-x^2} \text{ für } |x| < 1\] \[\int \text{atanh}(x) \, dx = x \cdot \text{atanh}(x) + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C\] \[\int \frac{1}{1-x^2} \, dx = \text{atanh}(x) + C \text{ für } |x| < 1\]

Beachte: Die Ableitung hat Pole bei \(x = \pm 1\)

⚠️ Kritisches Verhalten bei den Rändern

Verhalten nahe den Singularitäten:

\[\lim_{x \to 1^-} \text{atanh}(x) = +\infty\] \[\lim_{x \to -1^+} \text{atanh}(x) = -\infty\] \[\text{Für } x \to 1^-: \text{atanh}(x) \sim -\frac{1}{2}\ln(1-x)\] \[\text{Für } x \to 0: \text{atanh}(x) \sim x\]

Wichtig: Bei \(x = \pm 1\) ist die Funktion nicht definiert

📝 Beispiel 1: Grundwerte berechnen

Aufgabe: Berechnung verschiedener atanh-Werte
Berechnung:

\[\text{atanh}(0) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0}{1-0}\right) = \frac{1}{2}\ln(1) = 0\] \[\text{atanh}(0{,}5) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1{,}5}{0{,}5}\right) = \frac{1}{2}\ln(3) \approx 0{,}549\] \[\text{atanh}(-0{,}5) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{0{,}5}{1{,}5}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}549\]

Verifikation: \(\tanh(0{,}549) \approx 0{,}5\) ✓, ungerade Funktion ✓

📝 Beispiel 2: Relativistische Geschwindigkeitsaddition

Aufgabe: Rapidität in der speziellen Relativitätstheorie
Gegeben: Geschwindigkeit \(v = 0{,}8c\)
Berechnung:

\[\text{Rapidität: } \phi = \text{atanh}\left(\frac{v}{c}\right)\] \[\phi = \text{atanh}(0{,}8) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1{,}8}{0{,}2}\right) = \frac{1}{2}\ln(9) \approx 1{,}099\] \[\text{Verifikation: } v = c \cdot \tanh(\phi) = c \cdot \tanh(1{,}099) \approx 0{,}8c\]

Physik: Rapiditäten addieren sich linear: \(\phi_{ges} = \phi_1 + \phi_2\)

📝 Beispiel 3: Fisher-Transformation

Aufgabe: Transformation des Korrelationskoeffizienten
Gegeben: Korrelation \(r = 0{,}6\)
Berechnung:

\[\text{Fisher-z: } z = \text{atanh}(r) = \text{atanh}(0{,}6)\] \[z = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1{,}6}{0{,}4}\right) = \frac{1}{2}\ln(4) \approx 0{,}693\] \[\text{Standardfehler: } SE_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}} \text{ (für große Stichproben)}\]

Statistik: Fisher-z ist approximativ normalverteilt

🚀 Relativitätstheorie

Geschwindigkeitsaddition und Rapidität:

\[\text{Rapidität: } \phi = \text{atanh}\left(\frac{v}{c}\right)\] \[\text{Geschwindigkeitsaddition: } v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}\] \[\text{Rapiditäten addieren sich linear: } \phi_{12} = \phi_1 + \phi_2\]

Vorteil: Linearität der Rapiditäten vereinfacht Berechnungen

📊 Statistik und Data Science

Fisher-Transformation und Logit-Funktion:

\[\text{Fisher-z: } z = \text{atanh}(r) \text{ für Korrelation } r\] \[\text{Logit: } \text{logit}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = 2 \cdot \text{atanh}(2p-1)\] \[\text{Standardfehler: } SE_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}}\]

Anwendung: Konfidenzintervalle für Korrelationskoeffizienten

🔢 Taylor-Reihe von atanh(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\text{atanh}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} + \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = 1\] \[\text{Konvergenzintervall: } (-1, 1)\]

Beachte: Die Reihe konvergiert nur für \(|x| < 1\) und divergiert an den Rändern \(x = \pm 1\)