Stirling Gamma-Approximation Rechner

📈 Stirling-Formel

Die fundamentale asymptotische Näherung:

\[\text{Für } x \to \infty \text{ gilt:}\] \[\Gamma(x+1) = x! \sim \sqrt{2\pi x} \left(\frac{x}{e}\right)^x\] \[\text{Logarithmische Form:}\] \[\ln \Gamma(x+1) = \frac{1}{2}\ln(2\pi x) + x \ln x - x + O\left(\frac{1}{x}\right)\] \[\text{Relative Genauigkeit: } \frac{|\text{Fehler}|}{\text{Exakt}} = O\left(\frac{1}{x}\right)\]

🔄 Asymptotische Reihe

Erweiterte Stirling-Serie mit Korrekturtermen:

\[\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x} \left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1 + \frac{1}{12x} + \frac{1}{288x^2} - \frac{139}{51840x^3} - \frac{571}{2488320x^4} + \cdots\right)\] \[\text{Allgemeine Form mit Bernoulli-Zahlen:}\] \[\ln \Gamma(x+1) \sim \frac{1}{2}\ln(2\pi x) + x \ln x - x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)x^{2k-1}}\] \[\text{wobei } B_{2k} \text{ die Bernoulli-Zahlen sind}\]

📊 Korrekturfaktoren

Numerische Korrekturfaktoren der Stirling-Serie:

\[C_1 = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\] \[C_2 = \frac{1}{288} \approx 0{,}00347\] \[C_3 = -\frac{139}{51840} \approx -0{,}00268\] \[C_4 = -\frac{571}{2488320} \approx -0{,}000229\] \[C_5 = \frac{163879}{209018880} \approx 0{,}000784\] \[\text{Schnelle Konvergenz für moderate } x \geq 5\]

📝 Beispiel 1: Genauigkeitsanalyse

Aufgabe: Vergleich Stirling vs. exakt für 10!
Exakter Wert: 10! = 3.628.800
Berechnung:

\[\text{Stirling-Grundformel: } \sqrt{2\pi \cdot 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10}\] \[\approx \sqrt{62{,}83} \cdot (3{,}679)^{10} \approx 7{,}925 \cdot 359536 \approx 3{,}598{,}696\] \[\text{Relativer Fehler: } \frac{|3{,}628{,}800 - 3{,}598{,}696|}{3{,}628{,}800} \approx 0{,}83\%\] \[\text{Mit 1. Korrektur: } 3{,}598{,}696 \cdot \left(1 + \frac{1}{120}\right) \approx 3{,}628{,}694\] \[\text{Verbesserter Fehler: } \approx 0{,}003\% \text{ - dramatische Verbesserung!}\]

Ergebnis: Erste Korrektur reduziert Fehler um Faktor ~300

📝 Beispiel 2: Asymptotisches Verhalten

Aufgabe: Stirling für sehr große Zahlen
Szenario: 100! Berechnung
Analyse:

\[\text{Exakt: } 100! = 9{,}3326... \times 10^{157}\] \[\text{Stirling: } \sqrt{200\pi} \left(\frac{100}{e}\right)^{100}\] \[\text{Logarithmische Berechnung:}\] \[\ln(100!) \approx \frac{1}{2}\ln(200\pi) + 100\ln(100) - 100\] \[\approx 3{,}207 + 460{,}517 - 100 = 363{,}724\] \[\text{Relativer Fehler: } < 0{,}01\% \text{ ohne Korrekturterme!}\]

Fazit: Stirling wird für große x extrem genau

📝 Beispiel 3: Kombinatorische Anwendung

Aufgabe: Binomialkoeffizient-Approximation
Problem: $\binom{n}{k}$ für große n, k
Lösung:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[\text{Mit Stirling:}\] \[\binom{n}{k} \approx \frac{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{\sqrt{2\pi k} (k/e)^k \cdot \sqrt{2\pi(n-k)} ((n-k)/e)^{n-k}}\] \[= \sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}\] \[\text{Beispiel: } \binom{1000}{500} \approx \sqrt{\frac{1000}{2\pi \cdot 500 \cdot 500}} \cdot 2^{1000}\]

Anwendung: Zentrale Grenzwertsätze in der Wahrscheinlichkeitstheorie

✅ Vorteile der Stirling-Approximation

Stärken der asymptotischen Näherung:

\[\text{✓ Hervorragend für große Argumente (x > 10)}\] \[\text{✓ Einfache mathematische Form}\] \[\text{✓ Systematisch verbesserbar durch Korrekturterme}\] \[\text{✓ Theoretisch gut verstanden}\] \[\text{✓ Historisch wichtig und weit verbreitet}\] \[\text{✓ Direkter Zusammenhang zu asymptotischer Analysis}\]

⚠️ Einschränkungen und Grenzen

Schwächen der Stirling-Formel:

\[\text{⚠ Nur asymptotisch - schlecht für kleine x}\] \[\text{⚠ Divergente Reihe - nicht für alle x konvergent}\] \[\text{⚠ Benötigt Korrekturterme für hohe Genauigkeit}\] \[\text{⚠ Weniger genau als Lanczos für moderate x}\] \[\text{⚠ Problematisch bei numerischem Overflow}\]

📊 Methodenvergleich

💻 Code-Implementierungen

Effiziente Implementierung der Stirling-Approximation:

Python (Basis und erweitert):
import math

def stirling_basic(x):
  """Basis Stirling-Approximation"""
  if x <= 0:
    raise ValueError("x muss positiv sein")
  return math.sqrt(2 * math.pi * x) * (x / math.e) ** x

def stirling_extended(x, terms=5):
  """Erweiterte Stirling-Serie"""
  basic = stirling_basic(x)
  
  # Bernoulli-Zahlen für Korrekturterme
  B = [1/12, 1/288, -139/51840, -571/2488320, 163879/209018880]
  
  correction = 1
  x_power = x
  for i in range(min(terms, len(B))):
    correction += B[i] / x_power
    x_power *= x * x # x^(2k-1)
  
  return basic * correction

Logarithmische Version (für große x):
def log_stirling(x):
  """Logarithmische Stirling für numerische Stabilität"""
  return 0.5 * math.log(2 * math.pi * x) + x * math.log(x) - x

🎯 Optimierte Implementation

Professionelle Stirling-Implementation:

C++ (Hochoptimiert):
#include <cmath>
#include <stdexcept>

double stirling_gamma(double x) {
  if (x <= 0) throw std::invalid_argument("x must be positive");
  
  const double SQRT_2PI = 2.5066282746310005024;
  const double INV_E = 0.36787944117144232159;
  
  double log_result = 0.5 * log(SQRT_2PI * x) + x * log(x * INV_E);
  
  // Korrekturterme für bessere Genauigkeit
  if (x >= 1) {
    double inv_x = 1.0 / x;
    double correction = 1 + inv_x / 12 + inv_x * inv_x / 288;
    log_result += log(correction);
  }
  
  return exp(log_result);
}

MATLAB/Octave:
function result = stirling_gamma(x)
  if x <= 0
    error('x must be positive');
  end
  result = sqrt(2*pi*x) * (x/exp(1))^x;
  % Optional: Korrekturterme hinzufügen
  if x >= 1
    correction = 1 + 1/(12*x) + 1/(288*x^2);
    result = result * correction;
  end
end

🎯 Numerische Aspekte

Wichtige Implementierungsdetails:

\[\text{Logarithmische Berechnung für große x empfohlen}\] \[\text{Overflow-Vermeidung: } \ln \Gamma(x) \text{ statt } \Gamma(x)\] \[\text{Korrekturterme nur für } x \geq 1 \text{ sinnvoll}\] \[\text{Divergenz der asymptotischen Serie beachten}\] \[\text{Optimale Anzahl Terme: } N \approx x/2\] \[\text{Für } x < 5: \text{ andere Methoden bevorzugen}\]