beta Funktion Rechner
Online Rechner zur Berechnung der beta Funktion
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Beschreibung
Die Beta-Funktion \( B(a, b) \) ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der Analysis, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie ist eng mit der Gamma-Funktion verwandt und tritt häufig bei Integralen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und in der Kombinatorik auf.
Formel:
Die Beta-Funktion ist für \( a > 0 \) und \( b > 0 \) definiert als:
\[ B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \]
Sie kann auch mit der Gamma-Funktion ausgedrückt werden:
\[ B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \]
Beispiel:
Berechne \( B(2, 3) \):
Mit der Integraldefinition:
\[\displaystyle B(2, 3) = \int_0^1 t^{1} (1-t)^{2} \, dt \]
Das Integral ergibt:
\[\displaystyle B(2, 3) = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{2 t^3}{3} + \frac{t^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6 - 8 + 3}{12} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833 \]
Mit der Gamma-Funktion:
\[\displaystyle \Gamma(2) = 1! = 1 \), \( \Gamma(3) = 2! = 2 \), \( \Gamma(5) = 4! = 24 \]
\[\displaystyle B(2, 3) = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \]
Übersicht: Beta-Funktionen
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Beta-Funktion \( B(a, b) \):
Die vollständige Beta-Funktion, definiert als \(\displaystyle B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Unvollständige Beta-Funktion \( B_x(a, b) \):
Das Integral von 0 bis \( x \) (statt bis 1): \(\displaystyle B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x(a, b) \):
Das Verhältnis der unvollständigen zur vollständigen Beta-Funktion: \(\displaystyle I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \). -
Inverse regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x^{-1}(a, b) \):
Liefert das \( x \), für das \( I_x(a, b) = y \) gilt, d. h.: \(\displaystyle I_x^{-1}(a, b)(y) = x \).
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
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erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
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Semifakultät
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Fallende Fakultät
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Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl