Beta Funktion Rechner

🧮 Definition und Eigenschaften

Die Beta-Funktion und ihre fundamentalen Eigenschaften:

\[\text{Integral-Definition: } B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} \, dt \quad (a,b > 0)\] \[\text{Gamma-Beziehung: } B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\] \[\text{Symmetrie: } B(a,b) = B(b,a)\] \[\text{Rekursion: } B(a,b) = \frac{a-1}{a+b-1} B(a-1,b) \quad (a > 1)\]

🔄 Alternative Darstellungen

Verschiedene Integraldarstellungen der Beta-Funktion:

\[\text{Standard: } B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} \, dt\] \[\text{Trigonometrisch: } B(a,b) = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2a-1}\theta \cos^{2b-1}\theta \, d\theta\] \[\text{Unendlich: } B(a,b) = \int_0^\infty \frac{u^{a-1}}{(1+u)^{a+b}} \, du\] \[\text{Symmetrisch: } B(a,b) = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{au}}{(1+e^u)^{a+b}} \, du\]

📊 Spezielle Werte

Wichtige Beta-Funktionswerte:

\[B(1,1) = \int_0^1 1 \, dt = 1\] \[B(1,n) = \frac{1}{n} \quad (n > 0)\] \[B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} \quad (m,n \in \mathbb{N})\] \[B(1/2,1/2) = \pi\] \[B(1/2,n+1/2) = \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1/2)}{\Gamma(n+1)} = \frac{\sqrt{\pi} (2n-1)!!}{2^n n!}\]

📝 Beispiel 1: Klassische Berechnung

Aufgabe: Berechne B(2,3)
Lösung mit Integraldefinition:

\[B(2,3) = \int_0^1 t^{2-1}(1-t)^{3-1} \, dt = \int_0^1 t(1-t)^2 \, dt\] \[= \int_0^1 t(1-2t+t^2) \, dt = \int_0^1 (t - 2t^2 + t^3) \, dt\] \[= \left[\frac{t^2}{2} - \frac{2t^3}{3} + \frac{t^4}{4}\right]_0^1\] \[= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6-8+3}{12} = \frac{1}{12}\]

Verifikation mit Gamma-Funktion:

\[B(2,3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1! \cdot 2!}{4!} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \checkmark\]

📝 Beispiel 2: Binomialkoeffizienten

Aufgabe: Beziehung zu Binomialkoeffizienten
Herleitung:

\[\text{Binomialkoeffizient: } \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[\text{Beta-Funktion: } B(k+1, n-k+1) = \frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{\Gamma(n+2)}\] \[= \frac{k!(n-k)!}{(n+1)!} = \frac{k!(n-k)!}{(n+1) \cdot n!}\] \[\text{Daher: } \binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1) \cdot B(k+1, n-k+1)}\] \[\text{Beispiel: } \binom{5}{2} = \frac{1}{6 \cdot B(3,4)} = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{60}} = 10\]

Anwendung: Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Kombinatorik

📝 Beispiel 3: Beta-Verteilung

Aufgabe: Normierungskonstante der Beta-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte:

\[\text{Beta-Verteilung: } f(x|\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\] \[\text{für } x \in [0,1], \alpha,\beta > 0\] \[\text{Normierung: } \int_0^1 f(x|\alpha,\beta) \, dx = 1\] \[\int_0^1 \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \, dx = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \, dx\] \[= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \cdot B(\alpha,\beta) = 1 \checkmark\]

Bedeutung: Beta-Funktion ist essentiell für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

📊 Übersicht der Beta-Funktionen

💻 Code-Implementierungen

Effiziente Implementierung der Beta-Funktion:

Python (SciPy):
from scipy.special import beta, betainc, betaincinv
import numpy as np

# Beta-Funktion
result = beta(a, b) # B(a,b)
incomplete = betainc(a, b, x) # Iₓ(a,b)
inverse = betaincinv(a, b, p) # Iₓ⁻¹(a,b)(p)

# Eigene Implementation
def beta_function(a, b):
  """Beta-Funktion über Gamma-Funktionen"""
  from math import gamma
  return gamma(a) * gamma(b) / gamma(a + b)

R:
result <- beta(a, b) # Beta-Funktion
incomplete <- pbeta(x, a, b) # Kumulativ
quantile <- qbeta(p, a, b) # Quantil

MATLAB:
result = beta(a, b); % Beta-Funktion
incomplete = betainc(x, a, b); % Unvollständig
inverse = betaincinv(p, a, b); % Invers

🎯 Numerische Implementation

Robuste Implementierung für praktische Anwendungen:

C++ (Hochpräzise):
#include <cmath>
#include <stdexcept>

double beta_function(double a, double b) {
  if (a <= 0 || b <= 0) {
    throw std::domain_error("Beta function: arguments must be positive");
  }
  
  // Verwende Log-Gamma für numerische Stabilität
  return exp(lgamma(a) + lgamma(b) - lgamma(a + b));
}

double log_beta(double a, double b) {
  """Logarithmische Beta-Funktion für große Werte"""
  return lgamma(a) + lgamma(b) - lgamma(a + b);
}

Statistische Anwendung:
def beta_distribution_pdf(x, alpha, beta):
  """Beta-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte"""
  if x < 0 or x > 1:
    return 0
  if alpha <= 0 or beta <= 0:
    raise ValueError("Parameter müssen positiv sein")
  
  # Verwende Log für numerische Stabilität
  log_pdf = ((alpha - 1) * np.log(x) +
             (beta - 1) * np.log(1 - x) -
             log_beta(alpha, beta))
  return np.exp(log_pdf)

🎯 Praktische Anwendung

Beta-Funktion in der Bayesianischen Statistik:

Bayesianische Konjugation:
def bayesian_update_beta(prior_alpha, prior_beta, successes, failures):
  """Update Beta-Prior mit neuen Daten"""
  posterior_alpha = prior_alpha + successes
  posterior_beta = prior_beta + failures
  return posterior_alpha, posterior_beta

def beta_credible_interval(alpha, beta, confidence=0.95):
  """Bayesianisches Konfidenzintervall"""
  tail_prob = (1 - confidence) / 2
  lower = betaincinv(alpha, beta, tail_prob)
  upper = betaincinv(alpha, beta, 1 - tail_prob)
  return lower, upper

A/B Testing:
def ab_test_probability(alpha_a, beta_a, alpha_b, beta_b, n_samples=10000):
  """Monte Carlo für P(A > B) in A/B Test"""
  samples_a = np.random.beta(alpha_a, beta_a, n_samples)
  samples_b = np.random.beta(alpha_b, beta_b, n_samples)
  return np.mean(samples_a > samples_b)