Sekans (sec) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Sekans:

\[\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \text{ für } \cos(\alpha) \neq 0\] \[\sec(-x) = \sec(x) \text{ (gerade Funktion)}\] \[\sec(x + 2\pi) = \sec(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)\]

🔄 Trigonometrische Identitäten

Zusammenhänge mit anderen trigonometrischen Funktionen:

\[\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \text{ (Pythagoräische Identität)}\] \[\sec(2x) = \frac{\sec^2(x)}{2 - \sec^2(x)}\] \[\sec\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{2}{1 + \cos(x)}}\] \[\cos(x) \cdot \sec(x) = 1 \text{ (Kehrwertbeziehung)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)\] \[\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\sec(x) = \sec(x)(\sec^2(x) + \tan^2(x))\] \[\int \sec(ax) \, dx = \frac{1}{a}\ln|\sec(ax) + \tan(ax)| + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv im ersten und dritten Quadranten

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Hypotenuse aus Ankathete und Winkel berechnen
Gegeben: Ankathete \(b = 5\), Winkel \(\alpha = 60°\)
Berechnung:

\[\sec(60°) = \frac{c}{b} = \frac{c}{5}\] \[c = 5 \cdot \sec(60°) = 5 \cdot 2 = 10\] \[\text{Hypotenuse: } c = 10 \text{ Einheiten}\]

Verifikation: \(\sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Sekanswerte merken
Berechnung:

\[\sec(0°) = \frac{1}{\cos(0°)} = \frac{1}{1} = 1\] \[\sec(45°) = \frac{1}{\cos(45°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\] \[\sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\] \[\sec(120°) = \frac{1}{\cos(120°)} = \frac{1}{-0{,}5} = -2\] \[\sec(180°) = \frac{1}{\cos(180°)} = \frac{1}{-1} = -1\]

Merkhilfe: \(\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}\) - Kehrwert des Kosinus

📝 Beispiel 3: Astronomische Entfernung

Aufgabe: Entfernung zu einem Stern bei gegebener Parallaxe
Gegeben: Parallaxenwinkel \(p = 0{,}1\) Bogensekunden
Berechnung:

\[\text{Entfernung in Parsec: } d = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}1} = 10 \text{ pc}\] \[\text{Für kleine Winkel: } \sec(p) \approx 1 + \frac{p^2}{2}\] \[\text{Korrektur: } d_{korr} = d \cdot \sec(p) \approx 10 \cdot 1{,}000005 \approx 10{,}00005 \text{ pc}\] \[\text{In Lichtjahren: } d = 10 \times 3{,}26 = 32{,}6 \text{ Lichtjahre}\]

Anwendung: Astronomie, Parallaxenmessung, Entfernungsbestimmung

🔢 Taylor-Reihe von sec(x)

Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\sec(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{1385x^8}{40320} + \ldots\] \[\sec(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\] \[\text{Gültig für } |x| < \frac{\pi}{2}\]

Besonderheit: \(E_{2n}\) sind Euler-Zahlen, nur gerade Potenzen von x

🔬 Optik und Brechung

Anwendung in der geometrischen Optik:

\[\text{Lichtweg in Prisma: } L = t \cdot \sec(\theta)\] \[\text{Wobei } t \text{ = Dicke, } \theta \text{ = Brechungswinkel}\] \[\text{Airy-Disk Radius: } r = 1{,}22 \frac{\lambda f}{D} \sec(\alpha)\] \[\text{Luftmasse bei Beobachtung: } AM = \sec(z)\]

z = Zenitwinkel bei astronomischen Beobachtungen