Catalan-Zahl Rechner
Rechner und Formel zur Berechnung der Catalan-Zahl
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Diese Funktion liefert den mittleren Binomialkoeffizient zum angegebenen Argument.
Zur Berechnung geben Sie eine natürliche Zahl ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Beschreibung
Die Catalan-Zahlen sind eine Folge natürlicher Zahlen, die in vielen Bereichen der Kombinatorik auftreten. Die n-te Catalan-Zahl gibt zum Beispiel die Anzahl der Möglichkeiten an, eine korrekt geschachtelte Klammerung mit \( n \) Klammenpaaren zu bilden, oder die Anzahl der verschiedenen vollständigen Binärbäume mit \( n+1 \) Blättern.
Die Catalan-Zahlen werden durch folgende Formel definiert:
$$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)! \, n!} $$
Die ersten Catalan-Zahlen sind: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, ...
Anwendungen der Catalan-Zahlen finden sich unter anderem bei:
- der Anzahl der möglichen Klammerungen eines Ausdrucks mit \( n+1 \) Faktoren,
- der Anzahl der Wege in einem Gitter, die nicht über die Diagonale führen,
- der Anzahl der vollständigen Binärbäume mit \( n+1 \) Blättern,
- der Zerlegung eines konvexen Vielecks in Dreiecke durch nicht schneidende Diagonalen.
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl