Kosinus (cos) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Kosinus:

\[\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \text{ (Pythagoräischer Lehrsatz)}\] \[\cos(-x) = \cos(x) \text{ (gerade Funktion)}\] \[\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)\]

🔄 Additionstheoreme

Zusammenhänge mit Winkelsummen und -differenzen:

\[\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\] \[\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\] \[\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1\] \[\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\] \[\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\cos(x) = -\cos(x)\] \[\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\]

Beachte: Die Ableitung des Kosinus ist der negative Sinus

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Ankathete aus Hypotenuse und Winkel berechnen
Gegeben: Hypotenuse \(c = 10\), Winkel \(\alpha = 60°\)
Berechnung:

\[\cos(60°) = \frac{b}{c} = \frac{b}{10}\] \[b = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\] \[\text{Ankathete: } b = 5 \text{ Einheiten}\]

Verifikation: \(\cos(60°) = 0{,}5\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Kosinuswerte merken
Berechnung:

\[\cos(0°) = 1\] \[\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\] \[\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\] \[\cos(60°) = \frac{1}{2} = 0{,}5\] \[\cos(90°) = 0\] \[\cos(180°) = -1\]

Merkhilfe: Diese Werte sind Grundlage der Trigonometrie

📝 Beispiel 3: Harmonische Schwingung

Aufgabe: Position eines schwingenden Objekts
Gegeben: Amplitude \(A = 5\) cm, Frequenz \(f = 2\) Hz, Zeit \(t = 0{,}25\) s
Berechnung:

\[x(t) = A \cos(2\pi f t)\] \[x(0{,}25) = 5 \cos(2\pi \cdot 2 \cdot 0{,}25)\] \[x(0{,}25) = 5 \cos(\pi) = 5 \cdot (-1) = -5 \text{ cm}\] \[\text{Position nach 0{,}25 s: } x = -5 \text{ cm}\]

Physik: Schwingungen, Wellen, Wechselstrom

🔢 Taylor-Reihe von cos(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \ldots\] \[\text{Konvergiert für alle } x \in \mathbb{R}\]

Besonderheit: Nur gerade Potenzen von x (aufgrund der geraden Funktion)