Unvollständige Beta Funktion berechnen
Rechner und Formeln zur Berechnung der unvollständigen Beta Funktionen Bx(a,b) und Ix(a,b)
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Zur Berechnung geben Sie die Beta Parameter a,b und das Limit x ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Die Parameter a und b müssen >0 sein. Für den Wert des Integrals gilt 0 <= x <= 1.
Kurve von Bx(a,b)
Beschreibung
Die unvollständige unregularisierte Beta-Funktion \( B_x(a, b) \) ist eine Verallgemeinerung der Beta-Funktion, bei der das Integral nicht bis 1, sondern nur bis zu einem Wert \( x \) (mit \( 0 \leq x \leq 1 \)) berechnet wird. Die regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x(a, b) \) ist das Verhältnis von \( B_x(a, b) \) zur vollständigen Beta-Funktion \( B(a, b) \).
Formeln:
\[ B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \] \[ B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \] \[ I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \]
Beispiel:
Gegeben seien \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( x = 0{,}7 \).Berechnung:
\[ B_{0,7}(2, 3) = \int_0^{0,7} t^{1} (1-t)^{2} \, dt \] Dies ergibt (numerisch berechnet): \[ B_{0,7}(2, 3) \approx 0{,}185 \] Die vollständige Beta-Funktion: \[ B(2, 3) = \int_0^1 t^{1} (1-t)^{2} \, dt = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833 \] Die regularisierte unvollständige Beta-Funktion: \[ I_{0,7}(2, 3) = \frac{0{,}185}{0{,}0833} \approx 2{,}22 \]
Hinweis: Die Werte sind gerundet und dienen der Veranschaulichung. Die exakten Werte werden numerisch berechnet.
Übersicht: Beta-Funktionen
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Beta-Funktion \( B(a, b) \):
Die vollständige Beta-Funktion, definiert als \(\displaystyle B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Unvollständige Beta-Funktion \( B_x(a, b) \):
Das Integral von 0 bis \( x \) (statt bis 1): \(\displaystyle B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \). -
Regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x(a, b) \):
Das Verhältnis der unvollständigen zur vollständigen Beta-Funktion: \(\displaystyle I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)} \). -
Inverse regularisierte unvollständige Beta-Funktion \( I_x^{-1}(a, b) \):
Liefert das \( x \), für das \( I_x(a, b) = y \) gilt, d. h.: \(\displaystyle I_x^{-1}(a, b)(y) = x \).
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
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Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl