Unvollständige Beta Funktion Rechner

📝 Beispiel 1: Klassisches Beispiel

Aufgabe: Berechnung von B₀.₇(2,3) und I₀.₇(2,3)
Gegeben: a = 2, b = 3, x = 0.7
Berechnung:

\[B_{0{,}7}(2, 3) = \int_0^{0{,}7} t^{1} (1-t)^{2} \, dt\] \[\text{Numerische Berechnung: } B_{0{,}7}(2, 3) \approx 0{,}185\] \[\text{Vollständige Beta-Funktion: } B(2, 3) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\] \[\text{Regularisierte Form: } I_{0{,}7}(2, 3) = \frac{0{,}185}{0{,}0833} \approx 2{,}22\]

Interpretation: Das Integral bis 0.7 macht etwa 222% der Gesamtfläche aus

📝 Beispiel 2: Statistische Anwendung

Aufgabe: p-Wert-Berechnung für einen statistischen Test
Szenario: F-Test mit F-Statistik und entsprechenden Freiheitsgraden
Berechnung:

\[\text{F-Verteilung mit } df_1 = 3, df_2 = 7\] \[\text{F-Statistik: } F = 2{,}5\] \[\text{Umwandlung in Beta-Parameter: } a = \frac{df_1}{2}, b = \frac{df_2}{2}\] \[\text{Transformation: } x = \frac{df_1 \cdot F}{df_1 \cdot F + df_2}\] \[\text{p-Wert: } P = 1 - I_x(a,b)\]

Anwendung: Bestimmung der Signifikanz in ANOVA-Tests

📝 Beispiel 3: Gleichverteilungsfall

Aufgabe: Spezialfall a = b = 1
Beobachtung: Beta(1,1) entspricht der Gleichverteilung
Berechnung:

\[\text{Für a = b = 1: } B_x(1,1) = \int_0^x 1 \, dt = x\] \[\text{Vollständige Beta: } B(1,1) = 1\] \[\text{Regularisierte Form: } I_x(1,1) = \frac{x}{1} = x\] \[\text{Beispiele: } I_{0{,}3}(1,1) = 0{,}3, \quad I_{0{,}8}(1,1) = 0{,}8\]

Bedeutung: Bei Gleichverteilung ist Iₓ(1,1) = x (lineare Beziehung)

📈 Wichtige Formeln und Beziehungen

Fundamentale Eigenschaften der unvollständigen Beta-Funktion:

\[\text{Definitionsgleichung: } B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt\] \[\text{Normierung: } I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)}\] \[\text{Symmetrieeigenschaft: } I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a)\] \[\text{Rekursionsformel: } B_x(a+1, b) = \frac{a}{a+b} B_x(a, b) + \frac{x^a (1-x)^b}{a+b}\] \[\text{Grenzwerte: } I_0(a, b) = 0, \quad I_1(a, b) = 1\]

🔄 Verbindung zu anderen Verteilungen

Wichtige Beziehungen zu statistischen Verteilungen:

\[\text{Beta-Verteilung CDF: } F(x; a, b) = I_x(a, b)\] \[\text{F-Verteilung: } P(F \leq f) = I_{\frac{df_1 f}{df_1 f + df_2}}\left(\frac{df_1}{2}, \frac{df_2}{2}\right)\] \[\text{Binomialverteilung: } P(X \leq k) = I_{1-p}(n-k, k+1)\] \[\text{Student-t: } P(T \leq t) = \frac{1}{2} + \frac{t\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi\nu}\Gamma(\frac{\nu}{2})} \cdot I_{\frac{t^2}{t^2+\nu}}\left(\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2}\right)\]

💻 Code-Implementierungen

Effiziente Implementierung der unvollständigen Beta-Funktion:

Python (SciPy):
from scipy.special import betainc, beta
import numpy as np

# Regularisierte unvollständige Beta-Funktion
I_x = betainc(a, b, x) # I_x(a,b)

# Unvollständige Beta-Funktion
B_x = betainc(a, b, x) * beta(a, b) # B_x(a,b)

# Beispiel: Beta(2,3) an der Stelle x=0.7
a, b, x = 2, 3, 0.7
I_result = betainc(a, b, x)
B_result = I_result * beta(a, b)
print(f"I_{{0.7}}(2,3) = {I_result:.6f}")
print(f"B_{{0.7}}(2,3) = {B_result:.6f}")

R:
I_x <- pbeta(x, a, b) # I_x(a,b)
B_x <- pbeta(x, a, b) * beta(a, b) # B_x(a,b)

MATLAB:
I_x = betainc(x, a, b); % I_x(a,b)
B_x = I_x * beta(a, b); % B_x(a,b)

🎯 Statistische Anwendung

F-Test Implementation:

Python F-Test:
def f_test_p_value(f_stat, df1, df2):
  """Berechnet p-Wert für F-Test"""
  from scipy.special import betainc
  
  # Transformation für Beta-Funktion
  x = (df1 * f_stat) / (df1 * f_stat + df2)
  a = df1 / 2
  b = df2 / 2
  
  # p-Wert berechnen
  p_value = 1 - betainc(a, b, x)
  return p_value

# Beispiel: F=2.5, df1=3, df2=7
p_val = f_test_p_value(2.5, 3, 7)
print(f"p-Wert: {p_val:.6f}")

Binomial-Test:
def binomial_test_exact(k, n, p0):
  """Exakter Binomialtest mit Beta-Funktion"""
  from scipy.special import betainc
  
  # Zweiseitiger Test
  if k <= n * p0:
    p_left = betainc(k + 1, n - k, p0)
    p_right = 1 - betainc(k, n - k + 1, p0)
  else:
    p_right = 1 - betainc(k, n - k + 1, p0)
    p_left = betainc(k + 1, n - k, p0)
  
  return 2 * min(p_left, p_right)