Arkustangens (atan) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkustangens:

\[y = \arctan(x) \Leftrightarrow \tan(y) = x\] \[\text{für } x \in \mathbb{R} \text{ und } y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\]

Verifikation: \(\tan(\arctan(x)) = x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \text{ für } x > 0\] \[\arctan(-x) = -\arctan(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\] \[\arctan(x) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) \text{ für } x \geq 0\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\] \[\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\] \[\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv, arctan ist streng monoton steigend

📝 Beispiel 1: Steigungswinkel

Aufgabe: Winkel einer Straßensteigung berechnen
Gegeben: Steigung 15% (Höhenunterschied/Horizontale Entfernung = 0,15)
Berechnung:

\[\text{Steigung} = \tan(\alpha) = 0{,}15\] \[\alpha = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}53°\] \[\text{In Radiant: } \alpha \approx 0{,}149 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\tan(8{,}53°) \approx 0{,}15\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Tangenswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\arctan(0) = 0° = 0 \text{ rad}\] \[\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\] \[\arctan(1) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\arctan(\sqrt{3}) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\] \[\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\]

Merkhilfe: Diese Werte entsprechen den Hauptwinkeln in der Trigonometrie

📝 Beispiel 3: Navigation und Koordinaten

Aufgabe: Richtungswinkel berechnen
Gegeben: Zielpunkt bei Koordinaten (3, 4) vom Ursprung aus
Berechnung:

\[\text{Steigung} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\] \[\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13°\] \[\text{Entfernung: } r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\] \[\text{Richtungswinkel: } \alpha \approx 53{,}13°\text{ vom positiven x-Achse}\]

Anwendung: GPS-Navigation, Robotik, Computer Vision

🔵 Einheitskreis und arctan

Geometrische Bedeutung im Koordinatensystem:

\[\text{Für Punkt } (1, y) \text{ auf Linie vom Ursprung: } \tan(\theta) = \frac{y}{1} = y\] \[\text{Dann: } \theta = \arctan(y) \text{ mit } \theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\] \[\text{Steigung der Linie: } m = \tan(\theta) = y\] \[\text{Winkel zur x-Achse: } \theta = \arctan(m)\]

Interpretation: arctan(y) gibt den Winkel der Linie durch Ursprung und (1,y) an

🔢 Taylor-Reihe von arctan(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = 1\] \[\text{Konvergiert für } |x| \leq 1\]

Besonderheit: Leibniz-Reihe für π: \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots\)