Lanczos-Approximation für die Gamma-Funktion
Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Lanczos-Approximation
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Zur Berechnung tragen Sie das Argument x ein. Dann klicken Sie den Button berechnen.
Die Lanczos-Approximation ist eine praxisnahe Methode zur numerischen Berechnung der Gamma-Funktion \(\Gamma(z)\) mit konstanter Genauigkeit. Entwickelt von Cornelius Lanczos im Jahr 1964, übertrifft sie für moderate Argumente die Stirling-Formel in Genauigkeit und wird in vielen wissenschaftlichen Bibliotheken eingesetzt (z. B. GNU Scientific Library, Boost, CPython).
Wenn x null oder eine negative ganze Zahl ist, ist das Ergebnis ±∞ und es wird eine Fehlermeldung angezeigt.
Formeln
Für \(\Re(z)>-\bigl(g+\tfrac12\bigr)\) lautet eine Variante der Lanczos-Formel: \[ \Gamma(z+1) = \sqrt{2\pi}\,\bigl(z + g + \tfrac12\bigr)^{\,z+\tfrac12}\, \exp\bigl(-\bigl(z+g+\tfrac12\bigr)\bigr)\;A_g(z), \] wobei \[ A_g(z) = \tfrac12\,p_0(g) + \sum_{k=1}^{N} p_k(g)\,\frac{z}{\,z+k\,} \] schnell konvergiert, sobald die Parameter \(g\) und die Koeffizienten \(p_k(g)\) passend gewählt sind.
Partialbruch-Darstellung
Durch Vorberechnen geeigneter Koeffizienten \(\{c_k\}\) lässt sich \(A_g(z)\) in die Form \[ A_g(z) = c_0 \;+\;\sum_{k=1}^N \frac{c_k}{\,z + k\,} \] umschreiben. Diese Darstellungsweise minimiert Rundungsfehler und erlaubt die Auswertung von \(\Gamma(z)\) mit nur wenigen Multiplikationen, Potenzen, Exponentialfunktionen und einem kleinen Lookup-Tabellenzugriff.
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl