Logarithmus (log) Rechner

🧮 Logarithmus-Definition

Mathematische Definition und Eigenschaften:

\[\log_b(x) = y \text{ genau dann, wenn } b^y = x\] \[\text{Definitionsbereich: } x > 0, b > 0, b \neq 1\] \[\text{Wertebereich: } y \in \mathbb{R}\] \[\text{Spezialfälle: } \log_b(1) = 0, \log_b(b) = 1\]

🔄 Logarithmusgesetze

Wichtige Rechenregeln für Logarithmen:

\[\text{Produktregel: } \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\] \[\text{Quotientenregel: } \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\] \[\text{Potenzregel: } \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\] \[\text{Basiswechsel: } \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}\]

📊 Spezielle Logarithmen

Häufig verwendete Logarithmustypen:

\[\text{Natürlicher Logarithmus: } \ln(x) = \log_e(x), \quad e \approx 2{,}718\] \[\text{Dekadischer Logarithmus: } \lg(x) = \log_{10}(x)\] \[\text{Binärer Logarithmus: } \text{lb}(x) = \log_2(x)\] \[\text{Allgemeiner Logarithmus: } \log_b(x)\]

📝 Beispiel 1: Dekadischer Logarithmus

Aufgabe: \(\log_{10}(1000)\) berechnen
Berechnung:

\[\log_{10}(1000) = ?\] \[\text{Frage: } 10^? = 1000\] \[\text{Da } 10^3 = 1000\] \[\text{Folgt: } \log_{10}(1000) = 3\]

Verifikation: \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\) ✓

📝 Beispiel 2: Binärer Logarithmus

Aufgabe: \(\log_2(64)\) für Informatik-Anwendung
Berechnung:

\[\log_2(64) = ?\] \[\text{Frage: } 2^? = 64\] \[\text{Da } 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64\] \[\text{Folgt: } \log_2(64) = 6\]

Anwendung: 6 Bits benötigt um 64 verschiedene Werte zu kodieren

📝 Beispiel 3: pH-Wert Berechnung

Aufgabe: pH-Wert einer Lösung mit [H⁺] = 10⁻⁵ mol/L
Berechnung:

\[\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\] \[\text{pH} = -\log_{10}(10^{-5})\] \[\text{pH} = -(-5) \times \log_{10}(10)\] \[\text{pH} = -(-5) \times 1 = 5\]

Chemie: pH = 5 bedeutet schwach saure Lösung

🔢 Produktregel

Addition von Logarithmen entspricht Multiplikation der Argumente:

\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\] \[\text{Beispiel: } \log_2(8 \cdot 16) = \log_2(8) + \log_2(16)\] \[\log_2(128) = 3 + 4 = 7\] \[\text{Verifikation: } 2^7 = 128 \checkmark\]

🔢 Quotientenregel

Subtraktion von Logarithmen entspricht Division der Argumente:

\[\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\] \[\text{Beispiel: } \log_{10}\left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10}(1000) - \log_{10}(10)\] \[\log_{10}(100) = 3 - 1 = 2\] \[\text{Verifikation: } 10^2 = 100 \checkmark\]

🔢 Potenzregel

Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus gezogen:

\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\] \[\text{Beispiel: } \log_2(8^3) = 3 \cdot \log_2(8)\] \[\log_2(512) = 3 \cdot 3 = 9\] \[\text{Verifikation: } 2^9 = 512 \checkmark\]

🔄 Umrechnung zwischen Basen

Berechnung mit beliebiger Zwischenbasis:

\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}\] \[\text{Häufig mit } c = 10 \text{ oder } c = e:\] \[\log_b(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\] \[\text{Beispiel: } \log_3(27) = \frac{\log_{10}(27)}{\log_{10}(3)} = \frac{1{,}431}{0{,}477} \approx 3\]

📊 Tabelle wichtiger Werte

📈 Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Charakteristische Merkmale des Funktionsgraphen:

\[\text{Definitionsbereich: } x > 0\] \[\text{Wertebereich: } \mathbb{R}\] \[\text{Nullstelle: } \log_b(1) = 0\] \[\text{Asymptote: } x = 0 \text{ (vertikal)}\] \[\text{Monotonie: streng monoton steigend für } b > 1\] \[\text{Konkavität: konkav für } b > 1\]

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
function logBase(x, base) {
  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

Python:
import math
def log_base(x, base):
  return math.log(x) / math.log(base)

C++:
double logBase(double x, double base) {
  return log(x) / log(base);
}

Hinweis: Verwendung der Basiswechselformel mit natürlichem Logarithmus