Arkussekans (asec) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkussekans:

\[y = \text{asec}(x) \Leftrightarrow \sec(y) = x\] \[\text{für } |x| \geq 1 \text{ und } y \in [0, \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}\]

Beziehung zu arccos: \(\text{asec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right)\) für \(|x| \geq 1\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\text{asec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) \text{ für } |x| \geq 1\] \[\text{asec}(-x) = \pi - \text{asec}(x) \text{ für } x \geq 1\] \[\sec(\text{asec}(x)) = x \text{ für alle } |x| \geq 1\] \[\text{asec}(x) + \text{acsc}(x) = \frac{\pi}{2} \text{ für } x \geq 1\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{asec}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \text{ für } |x| > 1\] \[\int \text{asec}(x) \, dx = x \cdot \text{asec}(x) - \ln\left|x + \sqrt{x^2-1}\right| + C\] \[\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \, dx = \text{asec}(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv für x > 1 und negativ für x < -1

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen
Gegeben: Hypotenuse \(c = 10\), Ankathete \(b = 5\)
Berechnung:

\[\sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{10}{5} = 2\] \[\alpha = \text{asec}(2) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°\] \[\text{In Radiant: } \alpha = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Sekanswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\text{asec}(1) = \arccos(1) = 0° = 0 \text{ rad}\] \[\text{asec}(\sqrt{2}) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\text{asec}(2) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\] \[\text{asec}(-1) = \arccos(-1) = 180° = \pi \text{ rad}\]

Merkhilfe: asec(x) = arccos(1/x) für die häufigsten Werte

📝 Beispiel 3: Optische Brechung

Aufgabe: Brechungswinkel bei Totalreflexion
Gegeben: Brechungsindex \(n = 1{,}5\)
Berechnung:

\[\text{Grenzwinkel: } \sin(\theta_c) = \frac{1}{n} = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3}\] \[\text{Dann: } \cos(\theta_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\] \[\sec(\theta_c) = \frac{1}{\cos(\theta_c)} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}34\] \[\theta_c = \text{asec}(1{,}34) \approx 41{,}8°\]

Anwendung: Glasfasertechnik, Optik, Photonik

🔵 Sekans und rechtwinkliges Dreieck

Geometrische Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck:

\[\sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{c}{b}\] \[\text{Dann: } \alpha = \text{asec}\left(\frac{c}{b}\right)\] \[\text{Bedingung: } \frac{c}{b} \geq 1 \text{ (immer erfüllt, da } c \geq b \text{)}\] \[\text{Pythagoras: } c^2 = a^2 + b^2\]

Interpretation: asec gibt den Winkel für ein gegebenes Hypotenuse-zu-Ankathete-Verhältnis an