RLC Serienschaltung Rechner

📊 Spannungsdreieck

Vektorielle Addition der Teilspannungen:

\[U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}\] \[U_R = I \cdot R, \quad U_L = I \cdot X_L, \quad U_C = I \cdot X_C\] \[\tan(φ) = \frac{U_L - U_C}{U_R}\]

Besonderheit: UL und UC sind um 180° phasenverschoben (gegenphasig)

🔧 Widerstandsdreieck (Impedanz)

Berechnung der Gesamtimpedanz:

\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \frac{U}{I}\] \[X_L = 2π \cdot f \cdot L, \quad X_C = \frac{1}{2π \cdot f \cdot C}\] \[φ = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\]

⚡ Blindwiderstände

Frequenzabhängige reaktive Komponenten:

\[X_L = 2π \cdot f \cdot L \text{ (steigt mit f)}\] \[X_C = \frac{1}{2π \cdot f \cdot C} \text{ (fällt mit f)}\] \[\text{Resonanz: } X_L = X_C \Rightarrow f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{LC}}\]

📊 Leistungsdreieck

Wirk-, Blind- und Scheinleistung:

\[S = \sqrt{P^2 + (Q_L - Q_C)^2} = U \cdot I\] \[P = U_R \cdot I = I^2 \cdot R \text{ (nur R)}\] \[Q_L = U_L \cdot I = I^2 \cdot X_L, \quad Q_C = U_C \cdot I = I^2 \cdot X_C\]

📝 Beispiel 1: Audio-Filter bei 1 kHz

Aufgabe: RLC-Filter für Audio-Anwendung analysieren
Gegeben: L = 10 mH, C = 1 μF, R = 10 Ω, f = 1 kHz, U = 5 V
Berechnung:

\[X_L = 2π \cdot 1000 \cdot 10 \times 10^{-3} = 62,8 \text{ Ω}\] \[X_C = \frac{1}{2π \cdot 1000 \cdot 1 \times 10^{-6}} = 159 \text{ Ω}\] \[Z = \sqrt{10^2 + (62,8-159)^2} = \sqrt{100 + 9254} = 96,7 \text{ Ω}\] \[I = \frac{5}{96,7} = 0,052 \text{ A}\] \[U_R = 0,052 \cdot 10 = 0,52 \text{ V}\]

Ergebnis: Kapazitiv (XC > XL), Strom 52 mA, UR = 0,52 V.

📝 Beispiel 2: Resonanzverhalten bei 159 Hz

Aufgabe: Resonanzfrequenz der obigen Schaltung
Gegeben: L = 10 mH, C = 1 μF
Berechnung:

\[f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{10 \times 10^{-3} \cdot 1 \times 10^{-6}}} = 159 \text{ Hz}\] \[\text{Bei } f_0: X_L = X_C = 10 \text{ Ω}\] \[Z = \sqrt{10^2 + (10-10)^2} = 10 \text{ Ω (minimal!)}\] \[I = \frac{5}{10} = 0,5 \text{ A (maximal!)}\]

Ergebnis: Bei Resonanz nur resistive Impedanz, maximaler Strom.